VECTORALGEBRA: GRONDBEGINSELEN, GROOTHEDEN, VECTOREN - WISKUNDE

De vectoralgebra is een tak van de wiskunde die systemen van lineaire vergelijkingen, vectoren, matrices, vectorruimten en lineaire transformaties bestudeert. Het is gerelateerd aan gebieden zoals engineering, het oplossen van differentiaalvergelijkingen, functionele analyse, operationeel onderzoek, computergraphics, onder anderen.

Een ander gebied dat lineaire algebra heeft overgenomen, is de natuurkunde, omdat het hierdoor mogelijk is geweest om de studie van fysische verschijnselen te ontwikkelen en ze te beschrijven door het gebruik van vectoren. Dit heeft een beter begrip van het universum mogelijk gemaakt.

Fundamentals

Vectoralgebra is ontstaan uit de studie van quaternionen (uitbreiding van reële getallen) 1, i, j en k, en ook uit de Cartesiaanse geometrie gepromoot door Gibbs en Heaviside, die zich realiseerden dat vectoren zouden dienen als een instrument voor vertegenwoordigen verschillende fysische verschijnselen.

Vectoralgebra wordt bestudeerd aan de hand van drie grondbeginselen:

Geometrisch

Vectoren worden weergegeven door lijnen met een oriëntatie, en bewerkingen zoals optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met reële getallen worden gedefinieerd door middel van geometrische methoden.

Analytisch

De beschrijving van vectoren en hun bewerkingen gebeurt met getallen, componenten genaamd. Dit type beschrijving is het resultaat van een geometrische weergave omdat een coördinatensysteem wordt gebruikt.

Axiomatisch

Er wordt een beschrijving van de vectoren gemaakt, ongeacht het coördinatensysteem of elk type geometrische representatie.

De studie van figuren in de ruimte gebeurt door hun weergave in een referentiesysteem, dat in een of meer dimensies kan zijn. Tot de belangrijkste systemen behoren:

- Eendimensionaal systeem, een rechte lijn waarbij een punt (O) de oorsprong vertegenwoordigt en een ander punt (P) de schaal (lengte) en de richting ervan bepaalt:

- Rechthoekig coördinatensysteem (tweedimensionaal), dat is samengesteld uit twee loodrechte lijnen, de x-as en de y-as, die door een punt (O) -oorsprong gaan; op deze manier wordt het vlak verdeeld in vier gebieden die kwadranten worden genoemd. In dit geval wordt een punt (P) in het vlak gegeven door de afstanden die bestaan tussen de assen en P.

- Polair coördinatensysteem (tweedimensionaal). In dit geval bestaat het systeem uit een punt O (oorsprong) dat de pool wordt genoemd en een straal met oorsprong in O, de poolas. In dit geval wordt het punt P van het vlak, met verwijzing naar de pool en de poolas, gegeven door de hoek (Ɵ), die wordt gevormd door de afstand die bestaat tussen de oorsprong en het punt P.

- Rechthoekig driedimensionaal systeem, gevormd door drie loodrechte lijnen (x, y, z) waarvan de oorsprong een punt O in de ruimte is. Er worden drie coördinatenvlakken gevormd: xy, xz en yz; de ruimte zal worden verdeeld in acht regio's, octanten genaamd. De referentie van een punt P in de ruimte wordt gegeven door de afstanden die bestaan tussen de vlakken en P.

Grootheden

Een magnitude is een fysieke grootheid die kan worden geteld of gemeten via een numerieke waarde, zoals in het geval van sommige fysieke verschijnselen; het is echter vaak nodig om deze verschijnselen met andere dan numerieke factoren te kunnen beschrijven. Daarom worden de magnitudes in twee typen ingedeeld:

Scalaire omvang

Het zijn die hoeveelheden die numeriek worden gedefinieerd en weergegeven; dat wil zeggen door een module samen met een maateenheid. Bijvoorbeeld:

a) Tijd: 5 seconden.

b) Gewicht: 10 kg.

c) Inhoud: 40 ml.

d) Temperatuur: 40 ºC.

Vector omvang

Het zijn die grootheden die worden gedefinieerd en weergegeven door een module samen met een eenheid, evenals door een gevoel en richting. Bijvoorbeeld:

a) Snelheid: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Versnelling: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Kracht: 280 N, 120º.

d) Gewicht: -40 ĵ kg-f.

Vectorgrootheden worden grafisch weergegeven door vectoren.

Wat zijn vectoren?

Vectoren zijn grafische weergaven van een vectorgrootheid; dat wil zeggen, het zijn lijnsegmenten waarvan het uiteinde de punt van een pijl is.

Deze worden bepaald door de module of de lengte van het segment, de richting die wordt aangegeven door de punt van de pijl en de richting volgens de lijn waartoe het behoort. De oorsprong van een vector wordt ook wel het toepassingspunt genoemd.

De elementen van een vector zijn als volgt:

Module

Het is de afstand van de oorsprong tot het einde van een vector, weergegeven door een reëel getal samen met een eenheid. Bijvoorbeeld:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Adres

Het is de maat van de hoek die bestaat tussen de x-as (van de positieve) en de vector, evenals de windstreken (noord, zuid, oost en west) die worden gebruikt.

Zin

Het wordt gegeven door de pijlpunt aan het einde van de vector, die aangeeft waar het naartoe gaat.

Classificatie van vectoren

Over het algemeen worden vectoren geclassificeerd als:

Vaste vector

Het is er een waarvan het toepassingspunt (oorsprong) vaststaat; dat wil zeggen, het blijft verbonden met een punt in de ruimte, dus het kan er niet in bewegen.

Gratis vector

Het kan vrij in de ruimte bewegen omdat zijn oorsprong naar elk punt beweegt zonder zijn module, richting of richting te veranderen.

Schuifregelaar vector

Het is er een die zijn oorsprong langs zijn actielijn kan overbrengen zonder zijn module, richting of richting te veranderen.

Eigenschappen van vectoren

Een van de belangrijkste eigenschappen van vectoren zijn de volgende:

Vectors teamlenzen

Het zijn die vrije vectoren die dezelfde module, richting (of ze zijn parallel) en gevoel hebben als een glijdende vector of een vaste vector.

Equivalente vectoren

Het treedt op wanneer twee vectoren dezelfde richting (of parallel zijn), dezelfde betekenis hebben en ondanks verschillende modules en toepassingspunten dezelfde effecten veroorzaken.

Vector gelijkheid

Deze hebben dezelfde module, richting en betekenis, zelfs als hun startpunten verschillend zijn, waardoor een parallelle vector zichzelf kan vertalen zonder deze te beïnvloeden.

Tegenovergestelde vectoren

Het zijn degenen die dezelfde module en richting hebben, maar hun betekenis is tegengesteld.

Eenheid Vector

Het is er een waarin de module gelijk is aan de eenheid (1). Dit wordt verkregen door de vector te delen door zijn module en wordt gebruikt om de richting en richting van een vector te bepalen, hetzij in het vlak of in de ruimte, met behulp van de basis- of genormaliseerde eenheidsvectoren, die:

Null-vector

Het is er een waarvan de modulus gelijk is aan 0; dat wil zeggen, het punt van oorsprong en het einde vallen samen op hetzelfde punt.

Onderdelen van een vector

De componenten van een vector zijn die waarden van de projecties van de vector op de assen van het referentiesysteem; Afhankelijk van de ontleding van de vector, die zich op twee- of driedimensionale assen kan bevinden, worden respectievelijk twee of drie componenten verkregen.

De componenten van een vector zijn reële getallen, die positief, negatief of zelfs nul (0) kunnen zijn.

Als we dus een vector Ā hebben, met oorsprong in een rechthoekig coördinatensysteem in het xy-vlak (tweedimensionaal), is de projectie op de x-as Āx en de projectie op de y-as Āy. De vector wordt dus uitgedrukt als de som van de samenstellende vectoren.

Voorbeelden

Eerste voorbeeld

We hebben een vector Ā die begint bij de oorsprong en de coördinaten van de uiteinden worden gegeven. Dus de vector Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Als de vector Ā werkt aan de oorsprong van een driedimensionaal driehoekig coördinatensysteem (in de ruimte) x, y, z, tot aan een ander punt (P), zijn de projecties op zijn assen Āx, Āy en Āz; de vector wordt dus uitgedrukt als de som van de drie samenstellende vectoren.

Tweede voorbeeld

We hebben een vector Ā die begint bij de oorsprong en de coördinaten van de uiteinden worden gegeven. Dus de vector Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

Vectoren met hun rechthoekige coördinaten kunnen worden uitgedrukt in termen van hun basisvectoren. Daarvoor moet elke coördinaat alleen worden vermenigvuldigd met zijn respectieve eenheidsvector, zodanig dat ze voor het vlak en de ruimte de volgende zijn:

Voor het vlak: Ā = A _x i + A _y j.

Voor de spatie: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Vector operaties

Er zijn veel grootheden die een module, gevoel en richting hebben, zoals versnelling, snelheid, verplaatsing, kracht, onder anderen.

Deze worden op verschillende wetenschapsgebieden toegepast en om ze toe te passen is het in sommige gevallen nodig om bewerkingen uit te voeren zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van vectoren en scalairen.

optellen en aftrekken van vectoren

Het optellen en aftrekken van vectoren wordt beschouwd als een enkele algebraïsche bewerking omdat het aftrekken kan worden geschreven als een som; het aftrekken van de vectoren Ā en Ē kan bijvoorbeeld worden uitgedrukt als:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Er zijn verschillende methoden om vectoren op te tellen en af te trekken: ze kunnen grafisch of analytisch zijn.

Grafische methoden

Wordt gebruikt als een vector module, richting en richting heeft. Hiervoor worden lijnen getrokken die een figuur vormen die later helpen bij het bepalen van het resultaat. Tot de bekendste behoren de volgende:

Parallellogram-methode

Om twee vectoren op te tellen of af te trekken, wordt een gemeenschappelijk punt op de coördinaatas gekozen -die het punt van oorsprong van de vectoren vertegenwoordigt-, waarbij de module, richting en richting behouden blijven.

Lijnen worden vervolgens parallel aan de vectoren getekend om een parallellogram te vormen. De resulterende vector is de diagonaal die loopt van het punt van oorsprong van beide vectoren naar de top van het parallellogram:

Triangle-methode

Bij deze methode worden de vectoren achter elkaar geplaatst, met behoud van hun modules, richtingen en richtingen. De resulterende vector is de vereniging van de oorsprong van de eerste vector met het einde van de tweede vector:

analytische methodes

Twee of meer vectoren kunnen worden toegevoegd of afgetrokken via een geometrische of vectormethode:

Geometrische methode

Als twee vectoren een driehoek of parallellogram vormen, is de m) .push ({});

- Scalaire distributieve eigenschap: als een vector wordt vermenigvuldigd met de som van twee scalairen, is deze gelijk aan de vermenigvuldiging van de vector voor elke scalair.

Vermenigvuldiging van vectoren

De vermenigvuldiging of het product van vectoren zou kunnen worden gedaan als optellen of aftrekken, maar als je het op die manier doet, verliest het de fysieke betekenis en wordt het bijna nooit gevonden in applicaties. Om deze reden zijn de meest gebruikte typen producten het scalaire en vectorproduct.

Scalair product

Het is ook bekend als het puntproduct van twee vectoren. Wanneer de modules van twee vectoren worden vermenigvuldigd met de cosinus van de kleinste hoek die ertussen wordt gevormd, wordt een scalair verkregen. Om een scalair product tussen twee vectoren uit te drukken, wordt er een punt tussen geplaatst, en dit kan worden gedefinieerd als:

De waarde van de hoek die tussen de twee vectoren bestaat, is afhankelijk van of ze parallel of loodrecht zijn; dus je moet:

- Als de vectoren parallel zijn en dezelfde betekenis hebben, cosinus 0º = 1.

- Als de vectoren parallel zijn en tegengestelde richtingen hebben, cosinus 180º = -1.

- Als de vectoren loodrecht staan, cosinus 90º = 0.

Die hoek kan ook worden berekend wetende dat:

Het puntproduct heeft de volgende eigenschappen:

- Commutatieve eigenschap: de volgorde van de vectoren verandert de scalair niet.

-Distributieve eigenschap: als een scalair wordt vermenigvuldigd met de som van twee vectoren, is deze gelijk aan de vermenigvuldiging van de scalair voor elke vector.

Vector product

Vectorvermenigvuldiging, of kruisproduct van twee vectoren A en B, zal resulteren in een nieuwe vector C en wordt uitgedrukt met een kruising tussen de vectoren:

De nieuwe vector zal zijn eigen kenmerken hebben. Op die manier:

- De richting: deze nieuwe vector staat loodrecht op het vlak, dat wordt bepaald door de originele vectoren.

- De richting: dit wordt bepaald met de regel van de rechterhand, waarbij vector A naar B wordt gedraaid, waarmee de draairichting met de vingers wordt aangegeven, en de richting van de vector wordt gemarkeerd met de duim.

- De module: wordt bepaald door de vermenigvuldiging van de modules van de vectoren AxB, door de sinus van de kleinste hoek die tussen deze vectoren bestaat. Het wordt uitgedrukt:

De waarde van de hoek die tussen de twee vectoren bestaat, hangt af van het feit of ze parallel of loodrecht zijn. Het is dus mogelijk om het volgende te vermelden:

- Als de vectoren parallel zijn en dezelfde betekenis hebben, sinus 0º = 0.

- Als de vectoren parallel zijn en tegengestelde richtingen hebben, sinus 180º = 0.

- Als de vectoren loodrecht staan, sinus 90º = 1.

Wanneer een vectorproduct wordt uitgedrukt in termen van zijn basisvectoren, hebben we: