De binominale verdeling is een kansverdeling waarmee de kans op het optreden van gebeurtenissen wordt berekend, op voorwaarde dat ze plaatsvinden onder twee modaliteiten: succes of mislukking.
Deze aanduidingen (succes of mislukking) zijn volkomen willekeurig, aangezien ze niet noodzakelijk goede of slechte dingen betekenen. In dit artikel zullen we de wiskundige vorm van de binominale verdeling aangeven en vervolgens wordt de betekenis van elke term in detail uitgelegd.
Figuur 1. De rol van een dobbelsteen is een fenomeen dat kan worden gemodelleerd met behulp van de binominale verdeling. Bron: Pixabay.
Vergelijking
De vergelijking is als volgt:
Met x = 0, 1, 2, 3 … .n, waarbij:
- P (x) is de kans om exact x successen te hebben tussen n pogingen of proeven.
- x is de variabele die het fenomeen van interesse beschrijft, overeenkomend met het aantal successen.
- n het aantal pogingen
- p is de kans op succes bij 1 poging
- q is de faalkans bij 1 poging, dus q = 1 - p
Het uitroepteken "!" wordt gebruikt voor factoriële notatie, dus:
0! = 1
een! = 1
twee! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Enzovoort.
Concept
De binominale verdeling is zeer geschikt om situaties te beschrijven waarin een gebeurtenis wel of niet plaatsvindt. Als het zich voordoet, is het een succes en zo niet, dan is het een mislukking. Bovendien moet de kans op succes altijd constant blijven.
Er zijn verschijnselen die aan deze voorwaarden voldoen, bijvoorbeeld het opgooien van een munt. In dit geval kunnen we zeggen dat "succes" een gezicht krijgt. De kans is ½ en verandert niet, ongeacht hoe vaak de munt wordt gegooid.
De worp van een eerlijke dobbelsteen is een ander goed voorbeeld, evenals het categoriseren van een bepaalde productie in goede stukken en defecte stukken en rood worden in plaats van zwart bij het draaien van een roulettewiel.
kenmerken
We kunnen de kenmerken van de binominale verdeling als volgt samenvatten:
- Elke gebeurtenis of waarneming wordt gehaald uit een oneindige populatie zonder vervanging of uit een eindige populatie met vervanging.
- Er worden slechts twee opties overwogen, die elkaar uitsluiten: succes of mislukking, zoals aan het begin uitgelegd.
- De kans op succes moet constant zijn bij elke observatie die wordt gedaan.
- Het resultaat van een evenement is onafhankelijk van een ander evenement.
- Het gemiddelde van de binominale verdeling is np
- De standaarddeviatie is:
Toepassingsvoorbeeld
Laten we een simpele gebeurtenis nemen, die 2 koppen 5 kan krijgen door 3 keer een eerlijke dobbelsteen te gooien. Hoe groot is de kans dat in 3 worpen 2 koppen van 5 worden behaald?
Er zijn verschillende manieren om dit te bereiken, bijvoorbeeld:
- De eerste twee lanceringen zijn 5 en de laatste niet.
- De eerste en de laatste zijn 5, maar niet de middelste.
- De laatste twee worpen zijn 5 en de eerste niet.
Laten we de eerste reeks nemen die als voorbeeld wordt beschreven en de kans op voorkomen ervan berekenen. De kans om een 5 heads te krijgen bij de eerste worp is 1/6, en ook op de tweede, aangezien het onafhankelijke evenementen zijn.
De kans om bij de laatste worp nog een andere kop te krijgen dan 5 is 1 - 1/6 = 5/6. Daarom is de kans dat deze reeks uitkomt het product van de waarschijnlijkheden:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Hoe zit het met de andere twee reeksen? Ze hebben dezelfde kans: 0,023.
En aangezien we in totaal 3 succesvolle reeksen hebben, is de totale kans:
Voorbeeld 2
Een universiteit beweert dat 80% van de studenten van het basketbalteam van de universiteit afstudeert. Een onderzoek onderzoekt het academische record van 20 studenten van het basketbalteam die zich enige tijd geleden aan de universiteit hebben ingeschreven.
Van deze 20 studenten zijn er 11 afgestudeerd en 9 zijn afgevallen.
Figuur 2. Bijna alle studenten die voor het college-team spelen, studeren af. Bron: Pixabay.
Als de verklaring van de universiteit waar is, zou het aantal studenten dat basketbal speelt en afstudeert, van de 20, een binominale verdeling moeten hebben met n = 20 en p = 0,8. Hoe groot is de kans dat precies 11 van de 20 spelers afstuderen?
Oplossing
In de binominale distributie:
Voorbeeld 3
De onderzoekers voerden een onderzoek uit om te bepalen of er significante verschillen waren in slagingspercentages tussen geneeskundestudenten die werden toegelaten via speciale programma's en medische studenten die werden toegelaten via reguliere toelatingscriteria.
Het slagingspercentage bleek 94% te zijn voor artsenstudenten die via speciale programma's waren toegelaten (op basis van gegevens van de Journal of the American Medical Association).
Als 10 van de speciale programma-studenten willekeurig worden geselecteerd, bepaal dan de kans dat er minimaal 9 zijn afgestudeerd.
b) Zou het ongebruikelijk zijn om willekeurig 10 studenten uit speciale programma's te selecteren en te ontdekken dat er slechts 7 zijn afgestudeerd?
Oplossing
De kans dat een student die via een bijzondere opleiding wordt toegelaten, afstudeert is 94/100 = 0,94. We kiezen n = 10 studenten uit de speciale opleidingen en we willen weten wat de kans is dat er tenminste 9 afstuderen.
De volgende waarden worden dan vervangen in de binominale verdeling:
b)
Referenties
- Berenson, M. 1985. Statistieken voor management en economie. Interamericana SA
- MathWorks. Binominale distributie. Hersteld van: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistieken voor management en economie. 3e. editie. Grupo Hoofdartikel Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Toegepaste basisstatistieken. 2e. Editie.
- Triola, M. 2012. Elementaire statistieken. 11e. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Binominale distributie. Hersteld van: es.wikipedia.org