- Hoe worden impliciete derivaten opgelost?
- Kettingregel
- Operationele volgorde
- Impliciet
- Geschiedenis
- Toepassingen
- Opgeloste oefeningen
- Oefening 1
- Oefening 2
- Referenties
De impliciete afgeleiden zijn tools die worden gebruikt in een differentiëringstechniek die op functies wordt toegepast. Ze worden toegepast wanneer het niet mogelijk is, onder reguliere methoden, om de af te leiden afhankelijke variabele op te lossen. Deze speling wordt uitgevoerd als functie van de onafhankelijke variabele.
In de uitdrukking 3xy 3 - 2y + xy 2 = xy kan de uitdrukking die "y" definieert als een functie van "x" bijvoorbeeld niet worden verkregen. Zodat door het afleiden van de differentiële uitdrukking dy / dx kan worden verkregen.
Hoe worden impliciete derivaten opgelost?
Om een impliciete afgeleide op te lossen, beginnen we met een impliciete uitdrukking. Bijvoorbeeld: 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0. Dit is al correct opgelost, maar dit is geen noodzakelijke voorwaarde om de afgeleide van y te verkrijgen met betrekking tot x. Vervolgens wordt elk van de elementen afgeleid met inachtneming van de kettingregel voor gemengde functies:
3xy 3 is samengesteld uit 2 variabelen, daarom zal d (3xy 3 ) worden behandeld als de afgeleide van een product van functies.
d (3xy 3 ) / dx = 3y 3 + 3y 2. (3x) y '= 3y 3 + 9xy 2 y'
Waar het element y 'bekend staat als "y prime" en dy / dx vertegenwoordigt
-2y Het is afgeleid volgens de wet KU = K.U '
d (-2y) = -2 y '
xy 2 veronderstelt een ander differentieel dat bestaat uit een product van functies
d (xy 2 ) = y 2 + 2xy y '
-xy wordt homoloog behandeld
d (-xy) = -y - x y '
Ze worden vervangen door gelijkheid, wetende dat de afgeleide van nul nul is.
3y 3 + 9xy 2 y '- 2 y' + Y 2 + 2xy y '- y - x y' = 0
De elementen met de term y 'zijn gegroepeerd aan één kant van de gelijkheid
3y 3 + Y 2 - Y = -9xy 2 Y '+ 2 Y' + X Y '
De gemeenschappelijke factor y 'wordt uit de rechterkant van de gelijkheid gehaald
3y 3 + Y 2 - Y = Y '(-9xy 2 + X + 2)
Ten slotte wordt de term die y 'vermenigvuldigt gewist. Zo wordt de uitdrukking verkregen die overeenkomt met de impliciete afgeleide van y met betrekking tot x.
y '= dy / dx = (3y 3 + y 2 - y) / (- 9xy 2 + x + 2)
Kettingregel
Bij impliciete afleiding wordt de kettingregel altijd gerespecteerd. Alle differentiële uitdrukkingen worden gegeven als een functie van de onafhankelijke variabele X. Dus elke variabele θ behalve X, moet de term dθ / dx bevatten nadat ze is afgeleid.
Deze term verschijnt alleen in de eerste graad of met een exponent gelijk aan 1. Deze kwaliteit maakt het volkomen duidelijk onder traditionele factormethoden. Het is dus mogelijk om de uitdrukking te verkrijgen die het verschil dθ / dx definieert.
De kettingregel toont het progressieve karakter van het differentiatie- of afgeleide proces. Waar voor elke samengestelde functie f, we hebben dat de differentiële uitdrukking van f zal zijn
Operationele volgorde
Bij elke formule of afleidingswet die wordt toegepast, moet rekening worden gehouden met de volgorde van de variabelen. De criteria die aan de onafhankelijke variabele zijn gekoppeld, worden gerespecteerd, zonder de correlatie met de afhankelijke variabele te wijzigen.
De relatie van de afhankelijke variabele op het moment van afleiding wordt direct genomen; Met de uitzondering dat dit als een tweede functie wordt beschouwd, daarom wordt het kettingregelcriterium voor gemengde functies gehanteerd.
Dit kan worden ontwikkeld in uitdrukkingen met meer dan 2 variabelen. Volgens dezelfde principes zullen alle verschillen die naar de afhankelijke variabelen verwijzen, worden aangegeven.
Grafisch wordt hetzelfde criterium gehanteerd dat de afgeleide definieert. Terwijl de afgeleide de helling is van de raaklijn aan de kromme in het vlak, vertegenwoordigen de rest van de differentiëlen die tot de afhankelijke variabelen behoren (dy / dx, dz / dx) vlakken die raken aan de vectorlichamen die worden beschreven door de meervoudige variabele functies.
Impliciet
Een functie wordt gezegd dat impliciet worden gedefinieerd als de uitdrukking y = f (x) kan worden weergegeven als veelvoud variabele functie F (x, y) = 0 zolang F wordt gedefinieerd in R 2 vliegtuig .
3xy 3 - 2y + xy 2 = xy kan worden geschreven in de vorm 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0
Gezien de onmogelijkheid om de functie y = f (x) expliciet te maken.
Geschiedenis
De differentiaalrekening werd rond de zeventiende eeuw door verschillende wiskundige onderzoekers genoemd. De eerste keer dat het werd genoemd, was door de bijdragen van Newton en Leibniz. Beiden behandelden de differentiaalrekening vanuit verschillende gezichtspunten, maar convergeren in hun resultaten.
Terwijl Newton zich concentreerde op differentiatie als snelheid of snelheid van verandering, was de benadering van Leibniz meer geometrisch. Men kan zeggen dat Newton de vermoedens aanviel die door Apollonius van Perge en Leibniz de geometrische ideeën van Fermat hadden achtergelaten.
De impliciete afleiding verschijnt onmiddellijk bij het beschouwen van de differentiaal- en integraalvergelijkingen. Deze breidden het geometrische concept van Leibniz uit naar R 3 en zelfs naar multidimensionale ruimtes.
Toepassingen
Impliciete derivaten worden in verschillende situaties gebruikt. Ze komen vaak voor bij wisselkoersproblemen tussen gerelateerde variabelen, waarbij, afhankelijk van de zin van het onderzoek, de variabelen als afhankelijk of onafhankelijk worden beschouwd.
Ze hebben ook interessante geometrische toepassingen, zoals bij reflectie- of schaduwproblemen, op figuren waarvan de vorm wiskundig kan worden gemodelleerd.
Ze worden vaak gebruikt op het gebied van economie en techniek, maar ook bij verschillende onderzoeken naar natuurverschijnselen en experimentele gebouwen.
Opgeloste oefeningen
Oefening 1
Definieer de impliciete uitdrukking die dy / dx definieert
Elk element van de uitdrukking is gedifferentieerd
In elk bevoegd geval de kettingregel vaststellen
Groeperen aan één kant van gelijkheid de elementen die dy / dx hebben
Er wordt rekening gehouden met de gemeenschappelijke factor
Het is opgelost door de gezochte uitdrukking te verkrijgen
Oefening 2
Definieer de impliciete uitdrukking die dy / dx definieert
Uitdrukken van de uit te voeren derivaten
Impliciet afleiden volgens kettingregel
Factoring gemeenschappelijke elementen
De term dy / dx groeperen aan één kant van de gelijkheid
Gemeenschappelijke factor voor het differentiële element
We isoleren en verkrijgen de gezochte uitdrukking
Referenties
- Calculus van een enkele variabele. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 november 2008
- De impliciete functiestelling: geschiedenis, theorie en toepassingen. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 november. 2012
- Multivariabele analyse. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 december. 2010
- Systeemdynamiek: modellering, simulatie en besturing van mechatronische systemen. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 maart 2012
- Calculus: wiskunde en modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 januari 1999