CILINDRISCHE COÖRDINATEN: SYSTEEM, VERANDERING EN OEFENINGEN - WISKUNDE - 2024

De cilindrische coördinaten worden gebruikt om punten in een driedimensionale ruimte te lokaliseren en bestaan ​​uit een radiale coördinaat ρ, φ azimutale coördinaat en z-coördinaat van hoogte.

Een punt P dat zich in de ruimte bevindt, wordt orthogonaal geprojecteerd op het XY-vlak, waardoor het punt P 'in dat vlak ontstaat. De afstand van de oorsprong tot het punt P 'bepaalt de coördinaat ρ, terwijl de hoek tussen de X-as en de straal OP' de coördinaat φ definieert. Ten slotte is de z-coördinaat de orthogonale projectie van punt P op de Z-as. (zie figuur 1).

Figuur 1. Punt P met cilindrische coördinaten (ρ, φ, z). (Eigen uitwerking)

De radiale coördinaat ρ is altijd positief, de azimutale coördinaat φ varieert van nul radialen tot twee pi radialen, terwijl de z-coördinaat elke reële waarde kan aannemen:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Verandering van coördinaten

Het is relatief eenvoudig om de cartesiaanse coördinaten (x, y, z) van een punt P te bepalen uit de cilindrische coördinaten (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ zonde (φ)

z = z

Maar het is ook mogelijk om de poolcoördinaten (ρ, φ, z) te verkrijgen uitgaande van de kennis van de cartesiaanse coördinaten (x, y, z) van een punt P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arctan (y / x)

z = z

Vectorbasis in cilindrische coördinaten

De basis van cilindrische eenheidsvectoren Uρ , Uφ , Uz is gedefinieerd .

De vector Uρ raakt de lijn φ = ctte en z = ctte (radiaal naar buiten wijzend), de vector Uφ raakt de lijn ρ = ctte en z = ctte en tenslotte heeft Uz dezelfde richting van de Z-as.

Figuur 2. Cilindrische coördinatenbasis. (Wikimedia Commons)

In de cilindrische eenheidsbasis wordt de positievector r van een punt P vectorieel als volgt geschreven:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Aan de andere kant wordt een oneindig kleine verplaatsing d r vanaf punt P als volgt uitgedrukt:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Evenzo is een oneindig klein element van volume dV in cilindrische coördinaten:

dV = ρ dρ dφ dz

Voorbeelden

Er zijn talloze voorbeelden van het gebruik en de toepassing van cilindrische coördinaten. In de cartografie wordt bijvoorbeeld de cilindrische projectie gebruikt, precies op basis van deze coördinaten. Er zijn meer voorbeelden:

voorbeeld 1

Cilindrische coördinaten hebben toepassingen in de technologie. Als voorbeeld hebben we het CHS-systeem (Cylinder-Head-Sector) voor datalocatie op een harde schijf, die eigenlijk uit meerdere schijven bestaat:

- De cilinder of het spoor komt overeen met de coördinaat ρ.

- De sector komt overeen met de positie φ van de schijf die met hoge hoeksnelheid roteert.

- De kop komt overeen met de z-positie van de leeskop op de bijbehorende schijf.

Elke byte aan informatie heeft een nauwkeurig adres in cilindrische coördinaten (C, S, H).

Figuur 2. Locatie van informatie in cilindrische coördinaten op een harde schijf. (Wikimedia Commons)

Voorbeeld 2

Bouwkranen leggen de positie van de last vast in cilindrische coördinaten. De horizontale positie wordt bepaald door de afstand tot de as of pijl van de kraan ρ en door zijn hoekpositie φ ten opzichte van een referentieas. De verticale positie van de last wordt bepaald door de z-coördinaat van de hoogte.

Figuur 3. De positie van de last op een bouwkraan is eenvoudig uit te drukken in cilindrische coördinaten. (afbeelding pixabay - annotaties R. Pérez)

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Er zijn punten P1 met cilindrische coördinaten (3, 120º, -4) en punt P2 met cilindrische coördinaten (2, 90º, 5). Zoek de Euclidische afstand tussen deze twee punten.

Oplossing: eerst gaan we verder met het vinden van de cartesiaanse coördinaten van elk punt volgens de bovenstaande formule.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

De Euclidische afstand tussen P1 en P2 is:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ² ) = …

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Oefening 2

Punt P heeft cartesische coördinaten (-3, 4, 2). Zoek de overeenkomstige cilindrische coördinaten.

Oplossing: we gaan verder met het vinden van de cilindrische coördinaten met behulp van de bovenstaande relaties:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Er moet aan worden herinnerd dat de arctangensfunctie meerwaardig is met een periodiciteit van 180 °. Ook moet hoek φ tot het tweede kwadrant behoren, aangezien de x- en y-coördinaten van punt P in dat kwadrant liggen. Dit is de reden waarom bij het resultaat φ 180º is opgeteld.

Oefening 3

Uitdrukken in cilindrische coördinaten en in cartesiaanse coördinaten het oppervlak van een cilinder met straal 2 en waarvan de as samenvalt met de Z-as.

Oplossing: het is duidelijk dat de cilinder een oneindige uitbreiding heeft in de z-richting, dus de vergelijking van het genoemde oppervlak in cilindrische coördinaten is:

ρ = 2

Om de cartesiaanse vergelijking van het cilindrische oppervlak te verkrijgen, wordt het kwadraat van beide leden van de vorige vergelijking genomen:

ρ ² = 4

We vermenigvuldigen beide leden van de vorige gelijkheid met 1 en passen de fundamentele trigonometrische identiteit toe (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(zonde ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Het haakje is ontwikkeld om te verkrijgen:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

We onthouden dat het eerste haakje (ρ sin (φ)) de y-coördinaat is van een punt in poolcoördinaten, terwijl de haakjes (ρ cos (φ)) de x-coördinaat voorstelt, zodat we de vergelijking van de cilinder in coördinaten hebben Cartesiaans:

y ² + x ² = 2 ²

De bovenstaande vergelijking moet niet worden verward met die van een omtrek in het XY-vlak, aangezien het er in dit geval als volgt uitziet: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Oefening 4

Een cilinder met straal R = 1 m en hoogte H = 1 m heeft zijn massa radiaal verdeeld volgens de volgende vergelijking D (ρ) = C (1 - ρ / R) waarbij C een constante is met de waarde C = 1 kg / m ³ . Vind de totale massa van de cilinder in kilogram.

Oplossing: Ten eerste moet u zich realiseren dat de functie D (ρ) de volumetrische massadichtheid voorstelt, en dat de massadichtheid wordt verdeeld in cilindrische schalen met afnemende dichtheid van het centrum naar de periferie. Een oneindig klein volume-element volgens de symmetrie van het probleem is:

dV = ρ dρ 2π H

Daarom zal de oneindig kleine massa van een cilindrische schaal zijn:

dM = D (ρ) dV

Daarom wordt de totale massa van de cilinder uitgedrukt door de volgende welomlijnde integraal:

M = ∫ _of ^R D (ρ) dV = ∫ _of ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _of ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

De oplossing van de aangegeven integraal is niet moeilijk te verkrijgen, met als resultaat:

∫ _of ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Door dit resultaat op te nemen in de uitdrukking van de massa van de cilinder, verkrijgen we:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1 m * 1 kg / m ³ * 1 m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Referenties

1. Arfken G en Weber H. (2012). Wiskundige methoden voor natuurkundigen. Een uitgebreide gids. 7e editie. Academische pers. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Berekening cc. Opgeloste problemen van cilindrische en sferische coördinaten. Hersteld van: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Cilindrische coördinaten." Van MathWorld - A Wolfram Web. Hersteld van: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Cilindrisch coördinatensysteem. Hersteld van: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Vectorvelden in cilindrische en sferische coördinaten. Hersteld van: en.wikipedia.com