- Eigenschap omkeren
- De onbepaalde integraal
- Andere betekenissen van de integratieconstante
- Hoe wordt de integratieconstante berekend?
- Voorbeelden
- voorbeeld 1
- Voorbeeld 2
- Voorbeeld 3
- Voorgestelde oefeningen
- Oefening 1
- Oefening 2
- Oefening 3
- Oefening 4
- Referenties
De integratieconstante is een toegevoegde waarde bij de berekening van primitieve of integralen, het dient om de oplossingen weer te geven die de primitieve functie van een functie vormen. Het drukt een inherente dubbelzinnigheid uit wanneer elke functie een oneindig aantal primitieven heeft.
Als we bijvoorbeeld de functie nemen: f (x) = 2x + 1 en we krijgen zijn primitieve:
∫ (2x + 1) dx = X 2 + X + C ; Waarbij C de integratieconstante is en grafisch de verticale vertaling weergeeft tussen de oneindige mogelijkheden van de primitieve. Het is correct om te zeggen dat (x 2 + x) een van de primitieven is van f (x).
Bron: auteur
Evenzo kunnen we (x 2 + x + C ) definiëren als de primitief van f (x).
Eigenschap omkeren
Opgemerkt kan worden dat bij het afleiden van de uitdrukking (x 2 + x) de functie f (x) = 2x + 1 wordt verkregen, dit komt door de inverse eigenschap die bestaat tussen de afleiding en integratie van functies. Met deze eigenschap kunnen integratieformules worden verkregen uitgaande van de differentiatie. Waardoor de verificatie van integralen door dezelfde afgeleiden mogelijk is.
Bron: auteur
(X 2 + x) is echter niet de enige functie waarvan de afgeleide gelijk is aan (2x + 1).
- d (x 2 + x) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + C ) / dx = 2x + 1
Waar 1, 2, 3 en 4 bepaalde primitieven van f (x) = 2x + 1 voorstellen. Terwijl 5 de onbepaalde of primitieve integraal van f (x) = 2x + 1 vertegenwoordigt.
Bron: auteur
De primitieven van een functie worden bereikt door het antiderivatie- of integrale proces. Waar F een primitief van f zal zijn als het volgende waar is
- y = ∫ f (X) dx = F (X) + C; C = integratieconstante
- F '(x) = f (x)
Men kan zien dat een functie een enkele afgeleide heeft, in tegenstelling tot zijn oneindige primitieven die het resultaat zijn van integratie.
De onbepaalde integraal
∫ f (X) dx = F (X) + C
Het komt overeen met een familie van krommen met hetzelfde patroon, die incongruentie ervaren in de waarde van de afbeeldingen van elk punt (x, y). Elke functie die aan dit patroon voldoet, zal een individuele primitief zijn en de verzameling van alle functies staat bekend als een onbepaalde integraal.
De waarde van de integratieconstante zal degene zijn die elke functie in de praktijk onderscheidt.
De integratieconstante suggereert een verticale verschuiving in alle grafieken die de primitieven van een functie vertegenwoordigen. Waar het parallellisme tussen hen wordt waargenomen, en het feit dat C de waarde van de verplaatsing is.
Volgens gangbare praktijken wordt de integratieconstante aangeduid met de letter "C" na een toevoeging, hoewel het in de praktijk onverschillig is of de constante wordt opgeteld of afgetrokken. De werkelijke waarde ervan kan op verschillende manieren worden gevonden onder verschillende beginomstandigheden .
Andere betekenissen van de integratieconstante
Er is al besproken hoe de integratieconstante wordt toegepast in de tak van integraalrekening ; Vertegenwoordigt een familie van krommen die de onbepaalde integraal definiëren. Maar veel andere wetenschappen en takken hebben zeer interessante en praktische waarden van de constante van integratie toegekend , die de ontwikkeling van meerdere studies hebben vergemakkelijkt.
In de natuurkunde kan de integratieconstante meerdere waarden aannemen, afhankelijk van de aard van de gegevens. Een heel gebruikelijk voorbeeld is het kennen van de functie V (t) die de snelheid van een deeltje versus tijd t vertegenwoordigt. Het is bekend dat bij het berekenen van een primitief van V (t) de functie R (t) wordt verkregen die de positie van het deeltje versus de tijd vertegenwoordigt.
De integratieconstante vertegenwoordigt de waarde van de beginpositie, dat wil zeggen op tijdstip t = 0.
Op dezelfde manier, als de functie A (t) die de versnelling van het deeltje tegen de tijd vertegenwoordigt, bekend is. De primitief van A (t) zal resulteren in de functie V (t), waarbij de integratieconstante de waarde van de beginsnelheid V 0 zal zijn .
In de economie , door door integratie de primitief van een kostenfunctie te verkrijgen. De integratieconstante vertegenwoordigt de vaste kosten. En zoveel andere toepassingen die differentiaal- en integraalrekening verdienen.
Hoe wordt de integratieconstante berekend?
Om de integratieconstante te berekenen , zal het altijd nodig zijn om de beginvoorwaarden te kennen . Die bepalen welke van de mogelijke primitieven de overeenkomstige is.
In veel toepassingen wordt het behandeld als een onafhankelijke variabele op tijdstip (t), waarbij de constante C de waarden aanneemt die de beginvoorwaarden van het specifieke geval definiëren .
Als we het eerste voorbeeld nemen: ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C
Een geldige beginvoorwaarde kan zijn om te stellen dat de grafiek door een specifieke coördinaat gaat. We weten bijvoorbeeld dat de primitieve (x 2 + x + C) door het punt (1, 2)
F (x) = X 2 + X + C; dit is de algemene oplossing
F (1) = 2
We vervangen de algemene oplossing in deze gelijkheid
F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2
Van daaruit volgt gemakkelijk dat C = 0
Op deze manier is de overeenkomstige primitief voor dit geval F (x) = x 2 + x
Er zijn verschillende soorten numerieke oefeningen die werken met integratieconstanten . In feite wordt de differentiaal- en integraalrekening niet meer toegepast in huidige onderzoeken. Op verschillende academische niveaus zijn ze te vinden; van de eerste berekening tot onder andere natuurkunde, scheikunde, biologie, economie.
Het wordt ook gewaardeerd in de studie van differentiaalvergelijkingen , waarbij de integratieconstante verschillende waarden en oplossingen kan aannemen, dit vanwege de veelvoudige afleidingen en integraties die in deze kwestie worden uitgevoerd.
Voorbeelden
voorbeeld 1
- Een kanon van 30 meter hoog vuurt een projectiel verticaal omhoog. De beginsnelheid van het projectiel is bekend als 25 m / s. Besluiten:
- De functie die de positie van het projectiel bepaalt ten opzichte van de tijd.
- Het tijdstip van de vlucht of het moment waarop het deeltje de grond raakt.
Het is bekend dat bij een rechtlijnige beweging gelijkmatig gevarieerd de versnelling een constante waarde is. Dit is het geval bij de projectiellancering, waarbij de versnelling de zwaartekracht is
g = - 10 m / s 2
Het is ook bekend dat de versnelling de tweede afgeleide is van de positie, wat duidt op een dubbele integratie in de resolutie van de oefening, waardoor twee integratieconstanten worden verkregen.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C 1
De beginvoorwaarden van de oefening geven aan dat de beginsnelheid V 0 = 25 m / s is. Dit is de snelheid op het tijdstip t = 0. Op deze manier wordt er voor gezorgd dat:
V (0) = 25 = -10 (0) + C 1 en C 1 = 25
Met de snelheidsfunctie gedefinieerd
V (t) = -10t + 25; De gelijkenis kan worden waargenomen met de MRUV-formule (V f = V 0 + axt)
Op een homologe manier gaan we verder met het integreren van de snelheidsfunctie om de uitdrukking te verkrijgen die de positie definieert:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t 2 + 25t + C 2
R (t) = -5t 2 + 25t + C 2 (positie primitief)
De uitgangspositie R (0) = 30 m is bekend. Vervolgens wordt de specifieke primitief van het projectiel berekend.
R (0) = 30 m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C 2 . Waar C 2 = 30
Voorbeeld 2
- Zoek de primitieve f (x) die aan de beginvoorwaarden voldoet:
- f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7
Met de informatie van de tweede afgeleide f '' (x) = 4 begint het antiderivatieproces
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫4 dx = 4x + C 1
Als we dan de voorwaarde f '(2) = 2 kennen, gaan we verder:
4 (2) + C 1 = 2
C 1 = -6 en f '(x) = 4x - 8
We gaan op dezelfde manier te werk voor de tweede constante van integratie
f (X) = ∫f '(X) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x 2 - 8x + C 2
De beginvoorwaarde f (0) = 7 is bekend en we gaan verder:
2 (0) 2 - 8 (0) + C 2 = 7
C 2 = 7 en f (x) = 2x 2 - 8x + 7
- f '' (x) = x 2 ; f '(0) = 6; f (0) = 3
Op dezelfde manier als bij het vorige probleem, definiëren we de eerste afgeleiden en de oorspronkelijke functie uit de beginvoorwaarden.
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫ (x 2 ) dx = (x 3 /3) + C 1
Met de voorwaarde f '(0) = 6 gaan we verder:
(0 3/3 ) + C 1 = 6; Waarbij C 1 = 6 en f '(x) = (x 3 /3) + 6
Dan de tweede constante van integratie
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ dx = (x 4 /12) + + C 6x 2
De beginvoorwaarde f (0) = 3 is bekend en we gaan verder:
+ 6 (0) + C 2 = 3; Waar C 2 = 3
Zo verkrijgen we het primitieve bijzondere
f (x) = (x 4 /12) + 6x + 3
Voorbeeld 3
- Definieer de primitieve functies gezien de afgeleiden en een punt op de grafiek:
- dy / dx = 2x - 2 die door het punt (3, 2) gaat
Het is belangrijk om te onthouden dat afgeleiden verwijzen naar de helling van de lijn die de curve op een bepaald punt raakt. Waarbij het niet juist is om aan te nemen dat de grafiek van de afgeleide het aangegeven punt raakt, aangezien dit tot de grafiek van de primitieve functie behoort.
Op deze manier drukken we de differentiaalvergelijking als volgt uit:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
De beginvoorwaarde toepassen:
2 = (3) 2 - 2 (3) + C
C = -1
Het wordt verkregen: f (x) = x 2 - 2x - 1
- dy / dx = 3x 2-1 die door het punt (0, 2) gaat
We drukken de differentiaalvergelijking als volgt uit:
De beginvoorwaarde toepassen:
2 = (0) 2 - 2 (0) + C
C = 2
We krijgen: f (x) = x 3 - x + 2
Voorgestelde oefeningen
Oefening 1
- Zoek de primitieve f (x) die aan de beginvoorwaarden voldoet:
- f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
- f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
- f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
- f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8
Oefening 2
- Een ballon stijgt op met een snelheid van 16 ft / s en laat een zak zand vallen vanaf een hoogte van 64 ft boven de grond.
- Bepaal de vliegtijd
- Wat zal de vector V f zijn als hij de grond raakt?
Oefening 3
- De figuur toont de acceleratietijdgrafiek van een auto die in de positieve richting van de x-as beweegt. De auto reed met een constante snelheid van 54 km / u toen de bestuurder de remmen intrapt om binnen 10 seconden te stoppen. Bepalen:
- De eerste acceleratie van de auto
- De snelheid van de auto op t = 5s
- De verplaatsing van de auto tijdens het remmen
Bron: auteur
Oefening 4
- Definieer de primitieve functies gezien de afgeleiden en een punt op de grafiek:
- dy / dx = x die door het punt (-1, 4) gaat
- dy / dx = -x 2 + 1 die door het punt (0, 0) gaat
- dy / dx = -x + 1 die door het punt (-2, 2) gaat
Referenties
- Integrale calculus. De onbepaalde integrale en integratiemethoden. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena Universiteit 2014
- Stewart, J. (2001). Berekening van een variabele. Vroege transcendentals. Mexico: Thomson Learning.
- Jiménez, R. (2011). Wiskunde VI. Integrale calculus. Mexico: Pearson Education.
- Fysica I. Mc Graw Hill