ORTHONORMALE BASIS: EIGENSCHAPPEN, VOORBEELDEN EN OEFENINGEN - FYSIEK - 2024

Een orthonormale basis wordt gevormd met vectoren loodrecht op elkaar en waarvan de modulus ook 1 is (eenheidsvectoren). Laten we niet vergeten dat een basis B in een vectorruimte V wordt gedefinieerd als een reeks lineair onafhankelijke vectoren die de genoemde ruimte kunnen genereren.

Een vectorruimte is op zijn beurt een abstracte wiskundige entiteit waarvan de elementen vectoren zijn, meestal geassocieerd met fysieke grootheden zoals snelheid, kracht en verplaatsing of ook met matrices, polynomen en functies.

Figuur 1. Orthonormale basis in het vlak. Bron: Wikimedia Commons. Quartl.

Vectoren hebben drie onderscheidende elementen: grootte of modulus, richting en gevoel. Een orthonormale basis is vooral handig om ze weer te geven en ermee te werken, aangezien elke vector die tot een bepaalde vectorruimte V behoort, kan worden geschreven als een lineaire combinatie van de vectoren die de orthonormale basis vormen.

Op deze manier worden bewerkingen tussen vectoren, zoals optellen, aftrekken en de verschillende soorten producten gedefinieerd in de genoemde ruimte, analytisch uitgevoerd.

Een van de meest gebruikte bases in de natuurkunde is de basis die wordt gevormd door de eenheidsvectoren i , j en k die de drie verschillende richtingen van de driedimensionale ruimte vertegenwoordigen: hoogte, breedte en diepte. Deze vectoren zijn ook bekend als canonieke eenheden.

Als de vectoren in plaats daarvan in een vlak worden bewerkt, zouden twee van deze drie componenten voldoende zijn, terwijl voor eendimensionale vectoren slechts één vereist is.

Eigenschappen van de bases

1- Een basis B is de kleinst mogelijke set vectoren die de vectorruimte V genereren.

2- De elementen van B zijn lineair onafhankelijk.

3- Elke basis B van een vectorruimte V, laat toe om alle vectoren van V uit te drukken als een lineaire combinatie ervan en deze vorm is uniek voor elke vector. Om deze reden wordt B ook wel het generatiesysteem genoemd.

4- Dezelfde vectorruimte V kan verschillende bases hebben.

Voorbeelden van bases

Hier zijn enkele voorbeelden van orthonormale bases en bases in het algemeen:

De canonieke basis in ℜ

Ook wel natuurlijke basis of standaardbasis van ℜ ^{n genoemd} , waarbij ℜ ⁿ n-dimensionale ruimte is, bijvoorbeeld driedimensionale ruimte is ℜ ³ . De waarde van n wordt de dimensie van de vectorruimte genoemd en wordt aangeduid als dim (V).

Alle vectoren die bij ℜ ^{n horen,} worden weergegeven door geordende n-advertenties. Voor de ruimte ℜ ⁿ is de canonieke basis:

e ₁ = <1,0,. . . , 0>; e ₂ = <0,1,. . . , 0>; …… .. e _n = <0,0,. . . , 1>

In dit voorbeeld hebben we de notatie tussen haakjes of “haakjes” en vetgedrukt gebruikt voor de eenheidsvectoren e ₁ , e ₂ , e ₃ …

De canonieke basis in ℜ

De bekende vectoren i , j en k geven dezelfde representatie toe en ze zijn alle drie voldoende om de vectoren in ℜ ^{3 weer te geven} :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Het betekent dat de basis als volgt kan worden uitgedrukt:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Om te verifiëren dat ze lineair onafhankelijk zijn, is de determinant die ermee wordt gevormd niet-nul en ook gelijk aan 1:

Het moet ook mogelijk zijn om elke vector die bij ℜ ³ hoort te schrijven als een lineaire combinatie daarvan. Een kracht waarvan de rechthoekige componenten F _x = 4 N, F _y = -7 N en F _z = 0 N zijn, zou bijvoorbeeld als volgt in vectorvorm worden geschreven:

F = <4, -7,0> N = 4 ik -7 j + 0 k N.

Daarom vormen i , j en k een generatorsysteem van ℜ ³ .

Andere orthonormale bases in ℜ

De standaardbasis die in het vorige gedeelte is beschreven, is niet de enige orthonormale basis in ℜ ³ . Hier hebben we bijvoorbeeld de bases:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>}

Het kan worden aangetoond dat deze bases orthonormaal zijn, hiervoor onthouden we de voorwaarden waaraan moet worden voldaan:

-De vectoren die de basis vormen, moeten orthogonaal op elkaar staan.

-Elk van hen moet unitair zijn.

We kunnen dit verifiëren door te weten dat de determinant die erdoor wordt gevormd niet nul en gelijk aan 1 moet zijn.

De basis B ₁ is precies die van de cilindrische coördinaten ρ, φ en z, een andere manier om vectoren in de ruimte uit te drukken.

Figuur 2. Cilindrische coördinaten. Bron: Wikimedia Commons. Wiskundeleraar.

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Laat zien dat de basis B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>} is orthonormaal.

Oplossing

Om aan te tonen dat de vectoren loodrecht op elkaar staan, gebruiken we het scalaire product, ook wel het interne of puntproduct van twee vectoren genoemd.

Laat twee willekeurige vectoren u en v , hun puntproduct wordt gedefinieerd door:

u • v = uv cosθ

Om de vectoren van hun modules te onderscheiden, gebruiken we vet voor de eerste en normale letters voor de tweede. θ is de hoek tussen u en v, dus als ze loodrecht zijn, betekent dit dat θ = 90º en het scalaire product nul is.

Als alternatief, als de vectoren worden gegeven in termen van hun componenten: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, het scalaire product van beide, dat commutatief is, wordt op deze manier berekend:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

Op deze manier zijn de scalaire producten tussen elk paar vectoren respectievelijk:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

Voor de tweede voorwaarde wordt de module van elke vector berekend, die wordt verkregen door:

│u │ = √ (u _X ² + u _Y ² + u _z ² )

De modules van elke vector zijn dus:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0.1> │ = √ = 1

Daarom zijn alle drie eenheidsvectoren. Ten slotte is de determinant die ze vormen niet nul en gelijk aan 1:

- Oefening 2

Schrijf de coördinaten van de vector w = <2, 3,1> in termen van de basis hierboven.

Oplossing

Om dit te doen, wordt de volgende stelling gebruikt:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Dit betekent dat we de vector in basis B kunnen schrijven met behulp van de coëfficiënten < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, waarvoor we de aangegeven scalaire producten moeten berekenen:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Met de verkregen scalaire producten wordt een matrix geconstrueerd, de w-coördinatenmatrix genoemd.

Daarom worden de coördinaten van de vector w in de basis B uitgedrukt door:

_B =

De coördinatenmatrix is ​​niet de vector, aangezien een vector niet hetzelfde is als zijn coördinaten. Dit zijn slechts een reeks getallen die dienen om de vector in een bepaalde basis uit te drukken, niet de vector als zodanig. Ze zijn ook afhankelijk van de geselecteerde basis.

Ten slotte, volgens de stelling, zou de vector w als volgt worden uitgedrukt:

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Met: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, dat wil zeggen, de vectoren van de basis B.

Referenties

1. Larson, R. Foundations of Linear Algebra. 6e. Editie. Cengage leren.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7e. Editie. Deel 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Linear Algebra. Unit 10. Orthonormale bases. Hersteld van: ocw.uc3m.es.
4. Sevilla Universiteit. Cilindrische coördinaten. Vector basis. Hersteld van: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Orthonormale basis. Hersteld van: es.wikipedia.org.