BOOG (GEOMETRIE): MAAT, SOORTEN BOGEN, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2024

De boog is in geometrie elke gebogen lijn die twee punten met elkaar verbindt. Een gebogen lijn is, in tegenstelling tot een rechte lijn, een lijn waarvan de richting op elk punt verschilt. Het tegenovergestelde van een boog is een segment, aangezien dit een recht stuk is dat twee punten met elkaar verbindt.

De boog die het meest wordt gebruikt in de geometrie, is de omtrekboog. Andere algemeen gebruikte bogen zijn de parabolische boog, de elliptische boog en de bovenleiding. De boogvorm wordt ook in de architectuur veelvuldig gebruikt als decoratief element en structureel element. Dit is het geval voor de lateien van de deuren en ramen, maar ook voor de bruggen en aquaducten.

Figuur 1. De regenboog is een gebogen lijn die twee punten aan de horizon met elkaar verbindt. Bron: Pixabay

De boog en zijn maat

De maat van een boog is de lengte, die afhangt van het type curve dat de twee punten en hun locatie met elkaar verbindt.

De lengte van een cirkelboog is een van de eenvoudigste om te berekenen, omdat de lengte van de volledige boog of omtrek van een omtrek bekend is.

De omtrek van een cirkel is twee pi maal de straal: p = 2 π R. Dit wetende, als we de lengte s van een cirkelboog met hoek α (gemeten in radialen) en straal R willen berekenen, wordt een verhouding toegepast:

(s / p) = (α / 2 π)

Als we vervolgens s uit de vorige uitdrukking wissen en de omtrek p vervangen door de uitdrukking ervan als functie van de straal R, hebben we:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Dat wil zeggen, de maat van een cirkelboog is het product van de hoekopening maal de straal van de cirkelboog.

Voor een boog in het algemeen is het probleem ingewikkelder, tot het punt dat de grote denkers uit de oudheid beweerden dat het een onmogelijke taak was.

Pas met de komst van differentiaal- en integraalrekening in 1665 werd het probleem van het meten van een boog naar tevredenheid opgelost.

Vóór de uitvinding van differentiaalrekening konden oplossingen alleen worden gevonden door veelhoekige lijnen of omtrekbogen te gebruiken die de ware boog benaderden, maar deze oplossingen waren niet exact.

Soorten bogen

Vanuit het oogpunt van geometrie worden bogen geclassificeerd volgens de gebogen lijn die twee punten op het vlak met elkaar verbindt. Er zijn andere classificaties volgens het gebruik en de architectonische vorm.

Cirkelvormige boog

Als de lijn die twee punten in het vlak met elkaar verbindt een stuk omtrek van een bepaalde straal is, hebben we een cirkelvormige boog. Figuur 2 toont een cirkelboog c met straal R die de punten A en B verbindt.

Figuur 2. Cirkelvormige boog met straal R die punten A en B met elkaar verbindt. Uitgewerkt door Ricardo Pérez.

Parabolische boog

De parabool is het pad dat wordt gevolgd door een voorwerp dat schuin in de lucht is gegooid. Als de curve die twee punten met elkaar verbindt een parabool is, dan hebben we een parabolische boog zoals getoond in figuur 3.

Figuur 3. Parabolische boogverbindingspunten A en B. Uitgewerkt door Ricardo Pérez.

Dit is de vorm van de waterstraal die uit een naar boven wijzende slang komt. De parabolische boog is te zien in de waterbronnen.

Figuur 4. Parabolische boog gevormd door water uit een fontein in Dresden. Bron: Pixabay.

Bovenleiding boog

De bovenleiding is een andere natuurlijke boog. De bovenleiding is de curve die van nature ontstaat wanneer een ketting of touw losjes aan twee afzonderlijke punten hangt.

Figuur 5. Bovenleiding en vergelijking met de parabolische boog. Bereid door Ricardo Pérez.

De bovenleiding is vergelijkbaar met de parabool, maar is niet precies hetzelfde als te zien is in figuur 4.

De omgekeerde bovenleiding wordt in de architectuur gebruikt als een structureel element met hoge druksterkte. In feite kan worden aangetoond dat het het sterkste type boog is van alle mogelijke vormen.

Om een ​​stevige bovenleiding te bouwen, kopieert u gewoon de vorm van een hangend touw of ketting, en vervolgens wordt de gekopieerde vorm omgedraaid om deze op de deur- of raamlatei te reproduceren.

Elliptische boog

Een boog is elliptisch als de kromme die twee punten met elkaar verbindt een stuk ellips is. De ellips wordt gedefinieerd als de locus van punten waarvan de afstand tot twee gegeven punten altijd een constante hoeveelheid is.

De ellips is een curve die in de natuur voorkomt: het is de curve van het traject van de planeten rond de zon, zoals aangetoond door Johannes Kepler in 1609.

In de praktijk kan een ellips worden getekend door twee stutten op de grond of twee pennen in een stuk papier vast te pinnen en er een touwtje aan te knopen. Het touw wordt vervolgens met de marker of potlood strakgetrokken en de curve wordt getraceerd. Een stuk ellips is een elliptische boog. De volgende animatie illustreert hoe de ellips wordt getekend:

Figuur 5. Traceren van een ellips met een strak touw. Bron: Wikimedia Commons

Figuur 6 toont een elliptische boog die de punten G en H verbindt.

Figuur 6. Elliptische boog die twee punten met elkaar verbindt. Bereid door Ricardo Pérez.

Voorbeelden van bogen

De volgende voorbeelden hebben betrekking op het berekenen van de omtrek van een aantal specifieke bogen.

voorbeeld 1

Figuur 7 toont een raam afgewerkt in een uitgesneden cirkelvormige boog. De afmetingen in de afbeelding zijn in voet. Zoek de lengte van de boog.

Figuur 7. Berekening van de lengte van de cirkelboog van een raam. (Eigen annotaties - vensterafbeelding op Pixabay)

Om het middelpunt en de straal van de cirkelboog van de raamlateibalk te verkrijgen, zijn op de afbeelding de volgende constructies gemaakt:

-Het segment KL wordt getekend en de middelloodlijn wordt getekend.

-Vervolgens wordt het hoogste punt van de bovendorpel gelokaliseerd, dat we M noemen. Vervolgens wordt het KM-segment beschouwd en wordt de middelste getraceerd.

Het snijpunt van de twee middelloodlijnen is punt N en het is ook het middelpunt van de cirkelboog.

-Nu moeten we de lengte van het NM-segment meten, die samenvalt met de straal R van de cirkelboog: R = 2,8 voet.

-Om de lengte van de boog naast de straal te kennen, is het noodzakelijk om de hoek te kennen die de boog vormt. Dat kan op twee manieren worden bepaald: het wordt gemeten met een gradenboog, of het wordt berekend met behulp van trigonometrie.

In het weergegeven geval is de hoek die wordt gevormd door de boog 91,13º, die moet worden omgezet in radialen:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radialen

Ten slotte berekenen we de lengte s van de boog met de formule s = α R.

s = 1,59 * 2,8 voet = 4,45 voet

Voorbeeld 2

Zoek de lengte van de elliptische boog die wordt weergegeven in figuur 8, waarbij u de semi-hoofdas r en de semi-korte as s van de ellips kent.

Figuur 8. Elliptische boog tussen GH. Bereid door Ricardo Pérez.

Het vinden van de lengte van een ellips was lange tijd een van de moeilijkste problemen in de wiskunde. U kunt oplossingen krijgen die worden uitgedrukt door elliptische integralen, maar om een ​​numerieke waarde te hebben, moet u deze integralen uitbreiden in machtreeksen. Een exact resultaat zou oneindig veel termen van die reeksen vereisen.

Gelukkig vond het hindoeïstische wiskundige genie Ramanujan, die leefde tussen 1887 en 1920, een formule die heel precies de omtrek van een ellips benadert:

De omtrek van een ellips met r = 3 cm en s = 2,24 cm is 16,55 cm. De getoonde elliptische boog heeft echter de helft van die waarde:

Lengte van de elliptische boog GH = 8,28 cm.

Referenties

1. Clemens S. 2008. Geometrie en trigonometrie. Pearson Education.
2. García F. Numerieke procedures in Java. Lengte van een ellips. Hersteld van: sc.ehu.es
3. Dynamische geometrie. Bogen. Opgehaald van geometriadinamica.es
4. Piziadas. Ellipsen en parabolen om ons heen. Hersteld van: piziadas.com
5. Wikipedia. Boog (geometrie). Hersteld van: es.wikipedia.com