- Belangrijke termen
- Methoden
- - Stappen om mesh-analyse toe te passen
- Stap 1
- Stap 2
- Mesh abcda
- Systeemoplossing volgens de methode van Cramer
- Stap 1: Bereken Δ
- Stap 3: Bereken I.
- Stap 4: Bereken Δ
- Oplossing
- Mesh 3
- Tabel met stromen en spanningen in elke weerstand
- Cramer's regeloplossing
- Referenties
De mesh-analyse is een techniek die wordt gebruikt om elektrische circuits op te lossen. Deze procedure kan ook in de literatuur verschijnen als de methode van circuitstromen of de methode van mesh (of lus) stromen.
De basis van deze en andere analysemethoden voor elektrische circuits ligt in de wetten van Kirchhoff en de wet van Ohm. De wetten van Kirchhoff zijn op hun beurt uitdrukkingen van twee zeer belangrijke principes van behoud in de natuurkunde voor geïsoleerde systemen: zowel elektrische lading als energie blijven behouden.
Figuur 1. Circuits zijn onderdeel van talloze apparaten. Bron: Pixabay.
Enerzijds is elektrische lading gerelateerd aan stroom, die lading in beweging is, terwijl in een circuit energie is gekoppeld aan spanning, de agent die verantwoordelijk is voor het uitvoeren van het werk dat nodig is om de lading in beweging te houden.
Deze wetten, toegepast op een vlak circuit, genereren een reeks gelijktijdige vergelijkingen die moeten worden opgelost om de stroom- of spanningswaarden te verkrijgen.
Het systeem van vergelijkingen kan worden opgelost met bekende analytische technieken, zoals de regel van Cramer, die de berekening van determinanten vereist om de oplossing van het systeem te verkrijgen.
Afhankelijk van het aantal vergelijkingen, worden ze opgelost met behulp van een wetenschappelijke rekenmachine of wiskundige software. Er zijn ook veel opties online beschikbaar.
Belangrijke termen
Voordat we uitleggen hoe het werkt, beginnen we met het definiëren van deze termen:
Branch : sectie die een element van het circuit bevat.
Knooppunt : punt dat twee of meer takken met elkaar verbindt.
Loop: is een gesloten gedeelte van een circuit dat begint en eindigt bij hetzelfde knooppunt.
Mesh : lus die geen andere lus aan de binnenkant bevat (essentiële mesh).
Methoden
Mesh-analyse is een algemene methode die wordt gebruikt om circuits op te lossen waarvan de elementen in serie, parallel of op een gemengde manier zijn verbonden, dat wil zeggen wanneer het type verbinding niet duidelijk wordt onderscheiden. Het circuit moet vlak zijn, of het moet in ieder geval mogelijk zijn om het als zodanig opnieuw te tekenen.
Figuur 2. Platte en niet-platte circuits. Bron: Alexander, C. 2006. Grondbeginselen van elektrische schakelingen. 3e. Editie. Mc Graw Hill.
Een voorbeeld van elk type circuit wordt getoond in de bovenstaande afbeelding. Als het punt eenmaal duidelijk is, zullen we om te beginnen de methode toepassen op een eenvoudig circuit als voorbeeld in de volgende sectie, maar eerst zullen we kort de wetten van Ohm en Kirchhoff bespreken.
De wet van Ohm: laat V de spanning zijn, R de weerstand en I de stroom van het ohmse weerstandselement, waarin de spanning en de stroom recht evenredig zijn, waarbij de weerstand de evenredigheidsconstante is:
Kirchhoff's wet van spanning (LKV): in elk gesloten pad dat in slechts één richting wordt afgelegd, is de algebraïsche som van de spanningen nul. Dit omvat spanningen als gevolg van bronnen, weerstanden, inductoren of condensatoren: ∑ E = ∑ R i . ik
De huidige wet van Kirchhoff (LKC): op elk knooppunt is de algebraïsche som van de stromen nul, rekening houdend met het feit dat de inkomende stromen het ene teken krijgen en de stromen die een andere verlaten. Op deze manier: ∑ I = 0.
Met de mesh current-methode is het niet nodig om de huidige wet van Kirchhoff toe te passen, waardoor er minder vergelijkingen zijn om op te lossen.
- Stappen om mesh-analyse toe te passen
We beginnen met het uitleggen van de methode voor een circuit met 2 mazen. De procedure kan dan worden uitgebreid voor grotere circuits.
Figuur 3. Circuit met weerstanden en bronnen gerangschikt in twee mazen. Bron: F. Zapata.
Stap 1
Wijs onafhankelijke stromen toe aan elke mesh en teken deze, in dit voorbeeld zijn dit I 1 en I 2 . Ze kunnen met de klok mee of tegen de klok in worden getekend.
Stap 2
Pas de wet van spanningen van Kirchhoff (LTK) en de wet van Ohm toe op elke mesh. Potentiële dalingen krijgen een teken (-) terwijl stijgingen een teken (+) krijgen.
Mesh abcda
Beginnend bij punt a en in de richting van de stroom, vinden we een potentiële stijging van batterij E1 (+), dan een daling van R 1 (-) en dan nog een daling van R 3 (-).
Tegelijkertijd wordt de weerstand R 3 ook doorkruist door de stroom I 2 , maar in de tegenovergestelde richting, daarom vertegenwoordigt het een stijging (+). De eerste vergelijking ziet er als volgt uit:
Vervolgens wordt er rekening mee gehouden en worden de termen opnieuw gegroepeerd:
---------
-50 I 1 + 10I 2 = -12
Omdat het een 2 x 2-stelsel van vergelijkingen is, kan het gemakkelijk worden opgelost door reductie, door de tweede vergelijking met 5 te vermenigvuldigen om de onbekende I 1 te elimineren :
-50 ik 1 + 10 ik 2 = -12
Onmiddellijk wordt de huidige I 1 gewist uit een van de oorspronkelijke vergelijkingen:
Het minteken in de stroom I 2 betekent dat de stroom in mesh 2 in de tegenovergestelde richting circuleert dan die is getekend.
De stromen in elke weerstand zijn als volgt:
De stroom 1 = 0,16 A stroomt door de weerstand R 1 in de richting getrokken door de weerstand R 2 de stroom 2 = 0,41 A stroomt in tegengestelde richting aan die getrokken en door de weerstand R 3 stroomt i 3 = 0.16- ( -0,41) A = 0,57 A omlaag.
Systeemoplossing volgens de methode van Cramer
In matrixvorm kan het systeem als volgt worden opgelost:
Stap 1: Bereken Δ
De eerste kolom wordt vervangen door de onafhankelijke termen van het stelsel vergelijkingen, waarbij de volgorde behouden blijft waarin het systeem oorspronkelijk werd voorgesteld:
Stap 3: Bereken I.
Stap 4: Bereken Δ
Figuur 4. Circuit met 3 mazen. Bron: Boylestad, R. 2011. Inleiding tot circuitanalyse. 2da. Editie. Pearson.
Oplossing
De drie maasstromen worden getekend, zoals weergegeven in de volgende afbeelding, in willekeurige richtingen. Nu worden de mazen doorkruist vanaf elk punt:
Figuur 5. Maasstromen voor oefening 2. Bron: F. Zapata, gewijzigd ten opzichte van Boylestad.
Mesh 1
-9100.I 1 + 18-2200.I 1 + 9100.I 2 = 0
Mesh 3
Stelsel van vergelijkingen
Hoewel de cijfers groot zijn, kan het snel worden opgelost met behulp van een wetenschappelijke rekenmachine. Onthoud dat de vergelijkingen moeten worden geordend en nullen moeten worden toegevoegd op de plaatsen waar het onbekende niet verschijnt, zoals het hier voorkomt.
De maasstromen zijn:
De stromen I 2 en I 3 circuleren in de richting tegengesteld aan die getoond in de figuur, aangezien ze negatief bleken te zijn.
Tabel met stromen en spanningen in elke weerstand
| Weerstand (Ω) | Stroom (ampère) | Spanning = IR (Volt) |
|---|---|---|
| 9100 | I 1 –I 2 = 0,0012 - (- 0,00048) = 0,00168 | 15.3 |
| 3300 | 0.00062 | 2.05 |
| 2200 | 0,0012 | 2,64 |
| 7500 | 0.00048 | 3,60 |
| 6800 | I 2 –I 3 = -0.00048 - (- 0.00062) = 0.00014 | 0,95 |
Cramer's regeloplossing
Omdat het grote getallen zijn, is het handig om wetenschappelijke notatie te gebruiken om er direct mee te werken.
Berekening van I 1
De gekleurde pijlen in de 3 x 3 determinant geven aan hoe je de numerieke waarden kunt vinden door de aangegeven waarden te vermenigvuldigen. Laten we beginnen met die van de eerste haak in de determinant Δ:
(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2,67 x 10 12
9100 x 0 x 0 = 0
9100 x 6800 x 0 = 0
Meteen krijgen we het tweede haakje in dezelfde determinant, die van links naar rechts wordt gewerkt (voor dit haakje zijn de gekleurde pijlen niet getekend in de figuur). We nodigen de lezer uit om het te verifiëren:
0 x (-23400) x 0 = 0
9100 x 9100 x (-10100) = -8,364 x 10 11
6800 x 6800 x (-11300) = -5,225 x 10 11
Evenzo kan de lezer ook de waarden voor de determinant Δ 1 controleren .
Belangrijk: tussen beide haakjes staat altijd een minteken.
Ten slotte wordt de stroom I 1 verkregen door I 1 = Δ 1 / Δ
Berekening van I 2
De procedure kan worden herhaald om I 2 te berekenen , in dit geval om de determinant Δ 2 te berekenen wordt de tweede kolom van de determinant Δ vervangen door de kolom met de onafhankelijke termen en wordt de waarde ervan gevonden, volgens de beschreven procedure.
Omdat het echter omslachtig is vanwege de grote getallen, vooral als u geen wetenschappelijke rekenmachine hebt, is het eenvoudigste om de waarde van I 1 die al is berekend, in de volgende vergelijking te vervangen en op te lossen:
Berekening van I3
Eenmaal met de waarden van I 1 en I 2 in de hand, wordt die van I 3 direct gevonden door substitutie.
Referenties
- Alexander, C. 2006. Grondbeginselen van elektrische schakelingen. 3e. Editie. Mc Graw Hill.
- Boylestad, R. 2011. Inleiding tot circuitanalyse. 2da. Editie. Pearson.
- Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 5. Elektrische interactie. Bewerkt door Douglas Figueroa (USB).
- García, L. 2014. Elektromagnetisme. 2e. Editie. Industriële Universiteit van Santander.
- Sears, Zemansky. 2016. Universitaire natuurkunde met moderne natuurkunde. 14e. Ed. Deel 2.