GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK: KENMERKEN, EIGENSCHAPPEN, FORMULES, OPPERVLAKTE - WISKUNDE - 2026

Een gelijkzijdige driehoek is een veelhoek met drie zijden, waar ze allemaal gelijk zijn; dat wil zeggen, ze hebben dezelfde maat. Voor dit kenmerk kreeg het de naam gelijkzijdige (gelijke zijden).

Driehoeken zijn polygonen die als de eenvoudigste in geometrie worden beschouwd, omdat ze bestaan ​​uit drie zijden, drie hoeken en drie hoekpunten. In het geval van de gelijkzijdige driehoek, omdat deze gelijke zijden heeft, betekent dit dat de drie hoeken dat ook zijn.

Een voorbeeld van een gelijkzijdige driehoek

Kenmerken van gelijkzijdige driehoeken

- gelijke kanten

Gelijkzijdige driehoeken zijn platte en gesloten figuren, opgebouwd uit drie lijnstukken. Driehoeken worden geclassificeerd op basis van hun kenmerken, in relatie tot hun zijden en hoeken; de gelijkzijdige werd geclassificeerd door de maat van zijn zijden als parameter te gebruiken, aangezien deze exact hetzelfde zijn, dat wil zeggen congruent.

De gelijkzijdige driehoek is een specifiek geval van de gelijkbenige driehoek omdat twee van de zijden congruent zijn. Dus alle gelijkzijdige driehoeken zijn ook gelijkbenig, maar niet alle gelijkbenige driehoeken zullen gelijkzijdig zijn.

Op deze manier hebben gelijkzijdige driehoeken dezelfde eigenschappen als een gelijkbenige driehoek.

Gelijkzijdige driehoeken kunnen ook worden geclassificeerd door de breedte van hun binnenhoeken als een gelijkzijdige acute driehoek, die alle drie de zijden en drie binnenhoeken heeft met dezelfde maat. De hoeken zullen scherp zijn, dwz kleiner zijn dan 90 ^of .

- Componenten

Driehoeken hebben in het algemeen verschillende lijnen en punten waaruit het bestaat. Ze worden gebruikt om de oppervlakte, de zijkanten, de hoeken, de mediaan, de middelloodlijn, de middelloodlijn en de hoogte te berekenen.

• De mediaan : het is een lijn die begint vanaf het middelpunt van één zijde en het tegenoverliggende hoekpunt bereikt. De drie medianen ontmoeten elkaar op een punt dat het zwaartepunt of zwaartepunt wordt genoemd.
• De bissectrice : het is een straal die de hoek van de hoekpunten in twee gelijke hoeken verdeelt, daarom staat hij bekend als de symmetrieas. De gelijkzijdige driehoek heeft drie symmetrieassen. In de gelijkzijdige driehoek wordt de middelloodlijn getrokken vanaf het hoekpunt van een hoek naar de andere kant en wordt deze in het midden gesneden. Deze ontmoeten elkaar op een punt dat incenter wordt genoemd.
• De middelloodlijn : het is een loodrecht segment aan de zijkant van de driehoek dat zijn oorsprong in het midden ervan heeft. Er zijn drie bemiddelaars in een driehoek en ze ontmoeten elkaar op een punt dat circumcenter wordt genoemd.
• De hoogte : het is de lijn die van het hoekpunt naar de tegenoverliggende zijde gaat en ook deze lijn staat loodrecht op die zijde. Alle driehoeken hebben drie hoogtes die samenvallen op een punt dat het orthocentrum wordt genoemd.

In de volgende grafiek zien we een schaaldriehoek waarin enkele van de genoemde componenten gedetailleerd zijn

De middelloodlijn, mediaan en middelloodlijn vallen samen

De bissectrice verdeelt de zijde van een driehoek in twee delen. In gelijkzijdige driehoeken wordt die zijde in twee exact gelijke delen verdeeld, dat wil zeggen, de driehoek wordt verdeeld in twee congruente rechthoekige driehoeken.

Dus de middelloodlijn getrokken vanuit elke hoek van een gelijkzijdige driehoek valt samen met de mediaan en de middelloodlijn van de zijde tegenover die hoek.

Voorbeeld:

De volgende afbeelding toont driehoek ABC met een middelpunt D dat een van zijn zijden in twee segmenten AD en BD verdeelt.

Door een lijn te trekken van punt D naar het tegenoverliggende hoekpunt, wordt per definitie de mediaan CD verkregen, die relatief is ten opzichte van hoekpunt C en zijde AB.

Aangezien segment CD driehoek ABC verdeelt in twee gelijke driehoeken CDB en CDA, betekent dit dat we het congruentie-geval hebben: zijde, hoek, zijde en daarom zal CD ook de bissectrice van BCD zijn.

Een plotten segment CD, de hoek van het hoekpunt is verdeeld in twee gelijke hoeken van 30 ^en de hoek van het hoekpunt A nog van 60 ^of de lijn CD in een hoek van 90 ^of ten opzichte van het middelpunt D.

Het segment CD vormt hoeken die dezelfde maat hebben voor de driehoeken ADC en BDC, dat wil zeggen, ze zijn zo aanvullend dat de maat van elk zal zijn:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180 ^of

2 _* Med. (ADC) = 180 ^of

Med. (ADC) = 180 ^of ÷ 2

Med. (ADC) = 90 ^o .

En dus hebben we dat segment CD ook de middelloodlijn is van zijde AB.

De middelloodlijn en de hoogte vallen samen

Door de middelloodlijn van de top van een hoek naar het middelpunt van de tegenoverliggende zijde te trekken, wordt de gelijkzijdige driehoek in twee congruente driehoeken verdeeld.

Zodat een hoek 90 wordt gevormd ^of (recht). Dit geeft aan dat dat lijnsegment volledig loodrecht op die kant staat, en per definitie zou die lijn de hoogte zijn.

Dus de middelloodlijn van elke hoek van een gelijkzijdige driehoek valt samen met de hoogte ten opzichte van de tegenoverliggende zijde van die hoek.

Ortocentrum, zwaartepunt, incenter en samenvallende circumcenter

Omdat de hoogte, mediaan, bissectrice en middelloodlijn tegelijkertijd door hetzelfde segment worden weergegeven, zullen in een gelijkzijdige driehoek de ontmoetingspunten van deze segmenten -het orthocentrum, bissectrice, incenter en circumcenter- op hetzelfde punt worden gevonden:

Eigendommen

De belangrijkste eigenschap van gelijkzijdige driehoeken is dat ze altijd gelijkbenige driehoeken zullen zijn, aangezien gelijkbenige driehoeken worden gevormd door twee congruente zijden en gelijkzijdig door drie.

Op deze manier erfden de gelijkzijdige driehoeken alle eigenschappen van de gelijkbenige driehoek:

Interne hoeken

De som van de hoeken is altijd gelijk aan 180 ^of , aangezien alle hoeken congruent zijn, meet elk van deze 60 ^of .

Externe hoeken

De som van de buitenhoeken 360 zal altijd gelijk zijn ^of daarom zal elke buitenhoek 120 ^of meten . Dit komt doordat de interne en externe hoeken aanvullend zijn, dat wil zeggen dat ze bij het optellen altijd gelijk zijn aan 180 ^o .

Som van de zijkanten

De som van de maten van twee zijden moet altijd groter zijn dan de maat van de derde zijde, dat wil zeggen a + b> c, waarbij a, b en c de maten van elke zijde zijn.

Congruente kanten

Gelijkzijdige driehoeken hebben alle drie de zijden met dezelfde maat of lengte; dat wil zeggen, ze zijn congruent. Daarom hebben we in het vorige item dat a = b = c.

Congruente hoeken

Gelijkzijdige driehoeken worden ook wel gelijkzijdige driehoeken genoemd, omdat hun drie binnenhoeken congruent met elkaar zijn. Dit komt omdat alle zijden ook dezelfde maat hebben.

Hoe de omtrek berekenen?

De omtrek van een veelhoek wordt berekend door de zijkanten op te tellen. Omdat in dit geval de gelijkzijdige driehoek al zijn zijden heeft met dezelfde maat, wordt de omtrek berekend met de volgende formule:

P = 3 _* zijde.

Hoe de hoogte berekenen?

Omdat de hoogte de lijn is die loodrecht op de basis staat, wordt deze in twee gelijke delen verdeeld door zich uit te strekken naar het tegenoverliggende hoekpunt. Zo worden twee gelijke rechthoekige driehoeken gevormd.

De hoogte (h) vertegenwoordigt het tegenoverliggende been (a), het midden van de zijkant AC naar het aangrenzende been (b) en de zijkant BC vertegenwoordigt de hypotenusa (c).

Met behulp van de stelling van Pythagoras kan de waarde van de hoogte worden bepaald:

3 _* l = 450 m.

P = 3 _* l

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

Referenties

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Technische tekening: activiteitennotitieboekje.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
3. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Cultuur.
4. BARBOSA, JL (2006). Vliegtuig Euclidische Geometrie. SBM. Rio de Janeiro, .
5. Coxford, A. (1971). Geometrie Een transformatiebenadering. VS: Laidlaw Brothers.
6. Euclid, RP (1886). Euclides 'Elements of Geometry.
7. Héctor Trejo, JS (2006). Geometrie en trigonometrie.
8. León Fernández, GS (2007). Geïntegreerde geometrie. Metropolitan Technological Institute.
9. Sullivan, J. (2006). Algebra en trigonometrie. Pearson Education.