HET PRINCIPE VAN ARCHIMEDES: FORMULE, BEWIJS, TOEPASSINGEN - FYSIEK - 2026

Het principe van Archimedes stelt dat een lichaam dat geheel of gedeeltelijk is ondergedompeld, een verticale opwaartse kracht ontvangt die stuwkracht wordt genoemd, wat overeenkomt met het gewicht van het vloeistofvolume dat door het lichaam wordt verplaatst.

Sommige objecten drijven in water, sommige zinken en sommige gaan gedeeltelijk onder. Om een ​​strandbal te laten zinken is het nodig om moeite te doen, want onmiddellijk wordt die kracht waargenomen die hem naar de oppervlakte probeert terug te brengen. In plaats daarvan zinkt een metalen bol snel.

Figuur 1. Drijvende ballonnen: het principe van Archimedes in actie. Bron: Pixabay.

Aan de andere kant lijken ondergedompelde objecten lichter, daarom is er een kracht die wordt uitgeoefend door de vloeistof die het gewicht tegenwerkt. Maar het kan de zwaartekracht niet altijd volledig compenseren. En hoewel het duidelijker is met water, zijn gassen ook in staat om deze kracht te produceren op objecten die erin zijn ondergedompeld.

Geschiedenis

Archimedes van Syracuse (287-212 v.Chr.) Was degene die dit principe moet hebben ontdekt, omdat hij een van de grootste wetenschappers in de geschiedenis is. Ze zeggen dat koning Hiero II van Syracuse een goudsmid opdracht gaf om een ​​nieuwe kroon voor hem te maken, waarvoor hij hem een ​​bepaalde hoeveelheid goud gaf.

Archimedes

Toen de koning de nieuwe kroon ontving, was het het juiste gewicht, maar hij vermoedde dat de goudsmid hem had misleid door zilver toe te voegen in plaats van goud. Hoe kon hij het bewijzen zonder de kroon te vernietigen?

Hiero belde Archimedes, wiens reputatie als geleerde bekend was, om hem te helpen het probleem op te lossen. Volgens de legende werd Archimedes ondergedompeld in de badkuip toen hij het antwoord vond en, zo was zijn emotie, dat hij naakt door de straten van Syracuse rende om de koning te zoeken, terwijl hij "eureka" riep, wat "ik vond hem" betekent.

Wat heeft Archimedes gevonden? Welnu, bij het nemen van een bad steeg het waterniveau in de badkuip toen hij binnenkwam, wat betekent dat een ondergedompeld lichaam een ​​bepaald volume vloeistof verplaatst.

En als hij de kroon in water dompelde, moest dit ook een bepaald volume water verplaatsen als de kroon van goud was gemaakt en een andere als deze van een legering met zilver was gemaakt.

Formule

De hefkracht waarnaar het principe van Archimedes verwijst, staat bekend als hydrostatische stuwkracht of drijfkracht en, zoals we al zeiden, is deze gelijk aan het gewicht van het volume vloeistof dat door het lichaam wordt verplaatst wanneer het wordt ondergedompeld.

Het verplaatste volume is gelijk aan het volume van het object dat geheel of gedeeltelijk is ondergedompeld. Aangezien het gewicht van iets mg is, en de massa van de vloeistof dichtheid x volume is, wat de grootte van de stuwkracht aangeeft als B, hebben we wiskundig gezien:

B = m _vloeistof xg = dichtheid van vloeistof x ondergedompeld volume x zwaartekracht

B = ρ _vloeistof x V _{ondergedompeld} xg

Waar de Griekse letter ρ ("rho") dichtheid aangeeft.

Schijnbaar gewicht

Het gewicht van objecten wordt berekend met de bekende mg-uitdrukking, maar dingen voelen lichter aan als ze in water worden ondergedompeld.

Het schijnbare gewicht van een object is wat het heeft wanneer het wordt ondergedompeld in water of een andere vloeistof en wetende dat het volume van een onregelmatig object zoals de kroon van koning Hiero kan worden verkregen, zoals hieronder zal worden gezien.

Om dit te doen, wordt het volledig ondergedompeld in water en vastgemaakt aan een touwtje dat is bevestigd aan een rollenbank - een instrument met een veer die wordt gebruikt om krachten te meten. Hoe groter het gewicht van het object, hoe groter de verlenging van de veer, die wordt gemeten op een schaal die in het apparaat is aangebracht.

Figuur 2. Schijnbaar gewicht van een ondergedompeld object. Bron: opgesteld door F. Zapata.

De tweede wet van Newton toepassen wetende dat het object in rust is:

ΣF _y = B + T - W = 0

Het schijnbare gewicht W _{a is} gelijk aan de spanning in de snaar T:

Aangezien de stuwkracht het gewicht compenseert, aangezien het vloeistofgedeelte in rust is, dan:

Uit deze uitdrukking volgt dat de stuwkracht het gevolg is van het drukverschil tussen het bovenvlak van de cilinder en het ondervlak. Omdat W = mg = ρ vloeistof. V. g, het moet:

Dat is precies de uitdrukking voor de stuwkracht die in de vorige paragraaf werd genoemd.

Toepassingen

Het principe van Archimedes komt in veel praktische toepassingen voor, waaronder we kunnen noemen:

- De aerostatische ballon. Die, vanwege zijn gemiddelde dichtheid minder dan die van de omringende lucht, erin drijft vanwege de stuwkracht.

- De schepen. De romp van schepen is zwaarder dan water. Maar als we kijken naar de hele romp plus de lucht erin, dan is de verhouding tussen de totale massa en het volume kleiner dan die van het water en dat is de reden waarom schepen drijven.

- Reddingsvesten. Omdat ze zijn gemaakt van lichtgewicht en poreuze materialen, kunnen ze drijven omdat de massa-volumeverhouding lager is dan die van water.

- De vlotter om de vulkraan van een watertank af te sluiten. Het is een met lucht gevulde bol met een groot volume die boven op het water drijft, waardoor de duwkracht - vermenigvuldigd met het hefboomeffect - de dop van de vulkraan van een watertank sluit wanneer deze het niveau heeft bereikt. totaal.

Voorbeelden

voorbeeld 1

Volgens de legende gaf koning Hiero de goudsmid een bepaalde hoeveelheid goud om een ​​kroon te maken, maar de wantrouwende vorst dacht dat de goudsmid misschien bedrogen had door een metaal dat minder waardevol was dan goud in de kroon te plaatsen. Maar hoe kon hij dat weten zonder de kroon te vernietigen?

De koning vertrouwde het probleem toe aan Archimedes en deze, op zoek naar de oplossing, ontdekte zijn beroemde principe.

Stel dat de corona 2,10 kg-f weegt in lucht en 1,95 kg-f wanneer hij volledig in water is ondergedompeld. Is er in dit geval of is er geen sprake van misleiding?

Figuur 5. Vrijlichaamsdiagram van de kroon van King Heron. Bron: opgesteld door F. Zapata

Het diagram van de krachten is weergegeven in de bovenstaande figuur. Deze krachten zijn: het gewicht P van de kroon, de stuwkracht E en de spanning T van het touw dat aan de schaal hangt.

Het is bekend P = 2,10 kg-f en T = 1,95 kg-f, het blijft om de grootte van de stuwkracht E te bepalen :

Aan de andere kant, volgens het principe van Archimedes, is de stuwkracht E equivalent aan het gewicht van het water dat wordt verplaatst uit de ruimte die wordt ingenomen door de kroon, dat wil zeggen de dichtheid van het water maal het volume van de kroon als gevolg van de versnelling van de zwaartekracht:

Van waar het volume van de kroon kan worden berekend:

De dichtheid van de kroon is het quotiënt tussen de massa van de kroon uit het water en zijn volume:

De dichtheid van puur goud kan worden bepaald met een vergelijkbare procedure en het resultaat is 19300 kg / m ^ 3.

Als je de twee dichtheden vergelijkt, is het duidelijk dat de kroon geen puur goud is!

Voorbeeld 2

Aan de hand van de data en het resultaat van voorbeeld 1 is het mogelijk om te bepalen hoeveel goud er door de goudsmid is gestolen in het geval dat een deel van het goud is vervangen door zilver, dat een dichtheid heeft van 10.500 kg / m ^ 3.

We zullen de dichtheid van de kroon ρc, ρo de dichtheid van goud en ρ _p de dichtheid van zilver noemen .

De totale massa van de kroon is:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Het totale volume van de kroon is het volume zilver plus het volume goud:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Vervanging in de vergelijking voor de massa is:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

Dat wil zeggen, het volume van goud Vo dat de kroon van het totale volume V bevat, is:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) = …

… = 0,00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m ^ 3

Om het gewicht in goud dat de kroon bevat te vinden, vermenigvuldigen we Vo met de dichtheid van het goud:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Aangezien de massa van de kroon 2,10 kg is, weten we dat 0,94858 kg goud werd gestolen door de goudsmid en vervangen door zilver.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Een enorme heliumballon kan een persoon in evenwicht houden (zonder omhoog of omlaag te gaan).

Stel dat het gewicht van de persoon, plus de mand, touwen en ballon 70 kg is. Wat is het benodigde volume helium om dit te laten gebeuren? Hoe groot moet de ballon zijn?

Oplossing

We zullen aannemen dat de stuwkracht voornamelijk wordt geproduceerd door het volume van helium en dat de stuwkracht van de rest van de componenten erg klein is in vergelijking met die van helium, dat veel meer volume inneemt.

In dit geval is een heliumvolume vereist dat een stuwkracht van 70 kg + het gewicht van helium kan leveren.

Figuur 6. Vrijlichaamdiagram van de met helium gevulde ballon. Bron: opgesteld door F. Zapata.

Stuwkracht is het product van het volume helium maal de dichtheid van helium en de versnelling van de zwaartekracht. Die duw moet het gewicht van het helium plus het gewicht van de rest compenseren.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

waaruit wordt geconcludeerd dat V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

Dat wil zeggen, 65,4 m ^ 3 helium is vereist bij atmosferische druk om er lift te krijgen.

Als we uitgaan van een bolvormige bol, kunnen we zijn straal vinden uit de relatie tussen het volume en de straal van een bol:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Vanwaar R = 2,49 m. Met andere woorden, het vereist een ballon met een diameter van 5 m gevuld met helium.

Oefening 2

Materialen met een lagere dichtheid dan water drijven erin. Stel dat je piepschuim (witte kurk), hout en ijsblokjes hebt. Hun dichtheden in kg per kubieke meter zijn respectievelijk: 20, 450 en 915.

Zoek welk deel van het totale volume zich buiten het water bevindt en hoe hoog het boven het wateroppervlak staat, waarbij je 1000 kilogram per kubieke meter als dichtheid van het water neemt.

Oplossing

Drijfvermogen treedt op wanneer het gewicht van het lichaam gelijk is aan de stuwkracht vanwege het water:

E = M⋅g

Figuur 7. Vrijlichaamsdiagram van een gedeeltelijk ondergedompeld object. Bron: opgesteld door F. Zapata.

Gewicht is de dichtheid van het lichaam Dc vermenigvuldigd met zijn volume V en met de versnelling van de zwaartekracht g.

De stuwkracht is het gewicht van de vloeistof die verplaatst wordt volgens het principe van Archimedes en wordt berekend door de dichtheid D van het water te vermenigvuldigen met het ondergedompelde volume V 'en met de versnelling van de zwaartekracht.

Dat is:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Wat betekent dat de ondergedompelde volumefractie gelijk is aan het quotiënt tussen de dichtheid van het lichaam en de dichtheid van het water.

Dat wil zeggen, de uitstaande volumefractie (V '' / V) is

Als h de overhanghoogte is en L de zijkant van de kubus, kan de volumefractie worden geschreven als

De resultaten voor de bestelde materialen zijn dus:

Polystyreen (witte kurk):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% uit het water

Hout:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% uit het water

Ijs:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% uit het water

Referenties

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Deel 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Vloeistofmechanica. Fundamentals en toepassingen. Eerste editie. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 4. Vloeistoffen en thermodynamica. Bewerkt door Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Mechanica van vloeistoffen en hydraulica. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Fysica: concepten en toepassingen. 7e editie. McGraw Hill.