PARALLELPIPEDUM: KENMERKEN, TYPEN, OPPERVLAKTE, VOLUME - WISKUNDE - 2026

Een parallellepipedum is een geometrisch lichaam dat bestaat uit zes vlakken, waarvan het belangrijkste kenmerk is dat alle vlakken parallellogrammen zijn en ook dat de tegenoverliggende vlakken evenwijdig aan elkaar zijn. Het is een veel voorkomend veelvlak in ons dagelijks leven, omdat we het kunnen vinden in schoenendozen, de vorm van een steen, de vorm van een magnetron, enz.

Omdat het een veelvlak is, omsluit het parallellepipedum een ​​eindig volume en zijn al zijn vlakken plat. Het maakt deel uit van de groep prisma's, die veelvlakken zijn waarin al zijn hoekpunten zich in twee parallelle vlakken bevinden.

Elementen van het parallelpipedum

Gezichten

Ze zijn elk van de regio's gevormd door parallellogrammen die het parallellepipedum beperken. Een parallellepipedum heeft zes vlakken, waarbij elk vlak vier aangrenzende vlakken heeft en één er tegenover. Elk vlak is ook evenwijdig aan zijn tegengestelde.

Randen

Ze zijn de gemeenschappelijke kant van twee gezichten. In totaal heeft een parallellepipedum twaalf randen.

Vertex

Het is het gemeenschappelijke punt van drie vlakken die twee aan twee aan elkaar grenzen. Een parallellepipedum heeft acht hoekpunten.

Diagonaal

Gegeven twee vlakken van een parallellepipedum tegenover elkaar, kunnen we een lijnsegment tekenen dat van het hoekpunt van het ene vlak naar het tegenoverliggende hoekpunt van het andere gaat.

Dit segment staat bekend als de diagonaal van het parallellepipedum. Elk parallellepipedum heeft vier diagonalen.

Centrum

Het is het punt waarop alle diagonalen elkaar kruisen.

Kenmerken van het parallelpipedum

Zoals we al zeiden, heeft dit geometrische lichaam twaalf randen, zes vlakken en acht hoekpunten.

In een parallellepipedum kunnen drie sets worden geïdentificeerd die worden gevormd door vier randen die evenwijdig aan elkaar zijn. Verder hebben de randen van genoemde sets ook de eigenschap dezelfde lengte te hebben.

Een andere eigenschap die parallellepipedums bezitten, is dat ze convex zijn, dat wil zeggen dat als we een paar punten nemen die tot het inwendige van het parallellepipedum behoren, het segment dat door dat paar punten wordt bepaald, ook binnen het parallellepipedum valt.

Bovendien voldoen parallellepipedums die convexe veelvlakken zijn, aan de stelling van Euler voor veelvlakken, wat ons een verband geeft tussen het aantal vlakken, het aantal randen en het aantal hoekpunten. Deze relatie wordt gegeven in de vorm van de volgende vergelijking:

C + V = A + 2

Dit kenmerk staat bekend als het Euler-kenmerk.

Waar C het aantal vlakken is, V het aantal hoekpunten en A het aantal randen.

Soorten

We kunnen parallellepipedums indelen op basis van hun gezichten, in de volgende typen:

Orthohedron

Het zijn de parallellepipedums waarvan hun gezichten worden gevormd door zes rechthoeken. Elke rechthoek staat loodrecht op de rechthoeken die een rand delen. Ze komen het meest voor in ons dagelijks leven, omdat dit de gebruikelijke vorm van schoenendozen en bakstenen is.

Regelmatige kubus of hexahedron

Dit is een specifiek geval van het vorige, waarbij elk van de vlakken een vierkant is.

De kubus maakt ook deel uit van de geometrische lichamen die Platonische lichamen worden genoemd. Een platonisch lichaam is een convex veelvlak, zodat zowel de vlakken als de binnenhoeken gelijk zijn aan elkaar.

Rhombohedron

Het is een parallellepipedum met ruiten voor zijn gezicht. Deze ruiten zijn allemaal gelijk aan elkaar, omdat ze randen delen.

Rhombohedron

De zes gezichten zijn romboïden. Bedenk dat een ruitvormige een veelhoek is met vier zijden en vier hoeken die gelijk zijn aan twee of twee. Rhomboïden zijn parallellogrammen die geen vierkanten, rechthoeken of ruiten zijn.

Aan de andere kant zijn Oblique Parallelepipeds die waarbij ten minste één hoogte niet overeenkomt met hun rand. In deze classificatie kunnen we rhombohedra en rhombohedra opnemen.

Diagonalen berekening

Om de diagonaal van een orthohedron te berekenen, kunnen we de stelling van Pythagoras gebruiken voor R ³ .

Bedenk dat een ortohedron het kenmerk heeft dat elke zijde loodrecht staat op de zijden die een rand delen. Hieruit kunnen we afleiden dat elke rand loodrecht staat op degene die een hoekpunt delen.

Om de lengte van een diagonaal van een orthohedron te berekenen, gaan we als volgt te werk:

1. We berekenen de diagonaal van een van de vlakken, die we als basis plaatsen. Hiervoor gebruiken we de stelling van Pythagoras. Laten we deze diagonaal d _b noemen .

2. Dan kunnen we met d _b een nieuwe rechthoekige driehoek vormen, zodat de hypotenusa van die driehoek de diagonaal D is die we zoeken.

3. We gebruiken opnieuw de stelling van Pythagoras en we hebben de lengte van deze diagonaal:

Een andere manier om diagonalen op een meer grafische manier te berekenen, is door gratis vectoren toe te voegen.

Bedenk dat twee vrije vectoren A en B worden toegevoegd door de staart van vector B met de punt van vector A te plaatsen.

De vector (A + B) is degene die begint bij de staart van A en eindigt bij de punt van B.

Laten we eens kijken naar een parallellepipedum waarvoor we een diagonaal willen berekenen.

We identificeren de randen met handig georiënteerde vectoren.

Vervolgens voegen we deze vectoren toe en de resulterende vector wordt de diagonaal van het parallellepipedum.

Oppervlakte

De oppervlakte van een parallellepipedum wordt gegeven door de som van elk van de vlakken.

Als we een van de zijkanten als basis bepalen,

A _L + 2A _B = Totale oppervlakte

Waar A _L gelijk is aan de som van de gebieden van alle zijden naast de basis, wordt het laterale gebied genoemd en A _B is het oppervlak van de basis.

Afhankelijk van het type parallellepipedum waarmee we werken, kunnen we deze formule herschrijven.

Oppervlakte van een ortohedron

Het wordt gegeven door de formule

A = 2 (ab + bc + ca).

voorbeeld 1

Gegeven de volgende orthohedron, met zijden a = 6 cm, b = 8 cm en c = 10 cm, bereken de oppervlakte van het parallellepipedum en de lengte van de diagonaal.

Met behulp van de formule voor de oppervlakte van een ortohedron hebben we dat

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Merk op dat aangezien het een orthohedron is, de lengte van elk van de vier diagonalen hetzelfde is.

Als we de stelling van Pythagoras gebruiken voor ruimte, hebben we dat

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Oppervlakte van een kubus

Omdat elke rand dezelfde lengte heeft, hebben we dat a = b en a = c. Vervanging in de vorige formule die we hebben

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

Voorbeeld 2

De doos van een gameconsole heeft de vorm van een kubus. Als we deze doos met cadeaupapier willen omwikkelen, hoeveel papier zouden we dan uitgeven in de wetenschap dat de lengte van de randen van de kubus 45 cm is?

Met behulp van de formule voor de oppervlakte van de kubus verkrijgen we dat

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Oppervlakte van een rhombohedron

Omdat al hun gezichten hetzelfde zijn, berekent u gewoon de oppervlakte van een van hen en vermenigvuldigt u deze met zes.

We hebben dat de oppervlakte van een ruit kan worden berekend via zijn diagonalen met de volgende formule

EEN _R = (Dd) / 2

Met behulp van deze formule volgt dat de totale oppervlakte van de rhombohedron is

EEN _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Voorbeeld 3

De vlakken van de volgende rhombohedron worden gevormd door een ruit waarvan de diagonalen D = 7 cm en d = 4 cm zijn. Jouw buurt zal zijn

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ² .

Oppervlakte van een rhombohedron

Om de oppervlakte van een rhombohedron te berekenen, moeten we de oppervlakte berekenen van de rhomboïden waaruit het bestaat. Omdat parallellepipedums de eigenschap vervullen dat tegenoverliggende zijden dezelfde oppervlakte hebben, kunnen we de zijden in drie paren associëren.

Op deze manier hebben we dat uw buurt zal zijn

EEN _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Waar de b _i de bases zijn die zijn gekoppeld aan de zijkanten en de h _i, hun relatieve hoogte die overeenkomt met deze bases.

Voorbeeld 4

Beschouw het volgende parallellepipedum,

waarbij zijde A en zijde A '(de andere zijde) een basis b = 10 en een hoogte h = 6 hebben. Het gemarkeerde gebied heeft de waarde

Een ₁ = 2 (10) (6) = 120

De B ​​en B 'hebben b = 4 en h = 6, dus

EEN ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC en C 'hebben dus b = 10 en h = 5

EEN ₃ = 2 (10) (5) = 100

Eindelijk is het gebied van de rhombohedron

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume van een parallellepipedum

De formule die ons het volume van een parallellepipedum geeft, is het product van de oppervlakte van een van zijn vlakken door de hoogte die overeenkomt met dat vlak.

V = EEN _C h _C

Afhankelijk van het type parallellepipedum kan deze formule worden vereenvoudigd.

Zo hebben we bijvoorbeeld dat het volume van een orthohedron zou worden gegeven door

V = abc.

Waar a, b en c staan ​​voor de lengte van de randen van de ortohedron.

En in het specifieke geval van de kubus is

V = een ³

voorbeeld 1

Er zijn drie verschillende modellen voor koektrommels en je wilt weten in welke van deze modellen je meer koekjes kunt bewaren, dat wil zeggen welke van de bakjes het grootste volume heeft.

De eerste is een kubus waarvan de rand een lengte heeft van a = 10 cm

Het volume is V = 1000 cm ³

De tweede heeft randen b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

En daarom is het volume V = 765 cm ³

En de derde heeft e = 9 cm, f = 9 cm en g = 13 cm

En het volume is V = 1053 cm ³

Daarom is de doos met het grootste volume de derde.

Een andere methode om het volume van een parallellepipedum te verkrijgen, is het gebruik van vectoralgebra. In het bijzonder het triple dot-product.

Een van de geometrische interpretaties die het drievoudige scalaire product heeft, is die van het volume van het parallellepipedum, waarvan de randen drie vectoren zijn die hetzelfde hoekpunt als uitgangspunt delen.

Op deze manier, als we een parallellepipedum hebben en we willen weten wat het volume is, is het voldoende om het in een coördinatensysteem in R ^{3 weer te geven door} een van zijn hoekpunten samen te laten vallen met de oorsprong.

Vervolgens stellen we de randen voor die aan de oorsprong samenvallen met vectoren zoals weergegeven in de figuur.

En op deze manier hebben we dat het volume van genoemd parallellepipedum wordt gegeven door

V = - AxB ∙ C-

Of, equivalent, het volume is de determinant van de 3 x 3 matrix, gevormd door de componenten van de randvectoren.

Voorbeeld 2

Wanneer we het volgende parallellepipedum in R ^{3 weergeven} , kunnen we zien dat de vectoren die het bepalen, de volgende zijn

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) en w = (-0,25, -4, 4)

Met behulp van het drievoudige scalaire product dat we hebben

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Hieruit concluderen we dat V = 60

Laten we nu het volgende parallellepipedum in R3 beschouwen waarvan de randen worden bepaald door de vectoren

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) en C = (3, 4, 4)

Het gebruik van determinanten geeft ons dat

We hebben dus dat het volume van het parallellepipedum 112 is.

Beide zijn gelijkwaardige manieren om het volume te berekenen.

Perfect parallellepipedum

Een orthohedron staat bekend als een Euler-steen (of Euler's-blok) die voldoet aan de eigenschap dat zowel de lengte van de randen als de lengte van de diagonalen van elk van de vlakken hele getallen zijn.

Hoewel Euler niet de eerste wetenschapper was die de ortohedra bestudeerde die aan deze eigenschap voldoen, vond hij er wel interessante resultaten over.

De kleinste Euler-steen werd ontdekt door Paul Halcke en de lengtes van de randen zijn a = 44, b = 117 en c = 240.

Een open probleem in de getaltheorie is als volgt

Zijn er perfecte ortohedra?

Op dit moment is deze vraag niet beantwoord, aangezien het niet mogelijk was om te bewijzen dat dergelijke lichamen niet bestaan, maar er zijn er ook geen gevonden.

Wat tot nu toe is aangetoond, is dat er perfecte parallellepipedums bestaan. De eerste die ontdekt wordt, heeft de lengte van de randen de waarden 103, 106 en 271.

Bibliografie

1. Guy, R. (1981). Onopgeloste problemen in de getaltheorie. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie. Vooruitgang.
3. Leithold, L. (1992). De berekening met analytische meetkunde. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Technische tekening: Activiteitenboek 3 2e Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexico: Continentaal.