INGESCHREVEN HOEK VAN EEN CIRKEL: DEFINITIE, STELLINGEN, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2024

De ingeschreven hoek van een cirkel is er een die zijn top op de cirkel heeft en zijn stralen zijn secans of raken eraan. Als gevolg hiervan zal de ingeschreven hoek altijd convex of vlak zijn.

In figuur 1 zijn verschillende hoeken weergegeven die zijn ingeschreven in hun respectieve omtrek. De hoek ∠EDF wordt ingeschreven door zijn top D op de omtrek te hebben en zijn twee stralen =.

In een gelijkbenige driehoek zijn de hoeken naast de basis gelijk, dus ∠BCO = ∠ABC = α. Aan de andere kant ∠COB = 180º - β.

Gezien de som van de interne hoeken van de driehoek COB, hebben we:

α + α + (180º - β) = 180º

Hieruit volgt dat 2 α = β, of wat equivalent is: α = β / 2. Dit komt overeen met wat stelling 1 stelt: de maat van de ingeschreven hoek is de helft van de centrale hoek, als beide hoeken hetzelfde akkoord insluiten.

Demonstratie 1b

Figuur 6. Hulpconstructie om aan te tonen dat α = β / 2. Bron: F. Zapata met Geogebra.

In dit geval hebben we een ingeschreven hoek ∠ABC, waarin het middelpunt O van de cirkel binnen de hoek ligt.

Om in dit geval stelling 1 te bewijzen, tekent u de hulpstraal) .push ({});

Evenzo zijn de centrale hoeken β ₁ en β ₂ naast genoemde straal. We hebben dus dezelfde situatie zoals getoond 1a, zodat kan worden gezegd dat α ₂ = β ₂ /2 en a ₁ = β ₁ /2. Als α = α ₁ + α ₂ en β = β ₁ + β ₂ hebben dus dat α = α ₁ + α ₂ = β ₁ /2 + β ₂ /2 = (β ₁ + β ₂ ) / 2 = β / twee.

Tot slot α = β / 2, die voldoet aan stelling 1.

- Stelling 2

Figuur 7. Ingeschreven hoeken van gelijke grootte α, omdat ze dezelfde boog A⌒C insluiten. Bron: F. Zapata met Geogebra.

- Stelling 3

De ingeschreven hoeken die akkoorden van dezelfde maat insluiten, zijn gelijk.

Figuur 8. Ingeschreven hoeken die akkoorden van gelijke maat insluiten, hebben dezelfde maat β. Bron: F. Zapata met Geogebra.

Voorbeelden

- Voorbeeld 1

Laat zien dat de ingeschreven hoek die de diameter onderspant een rechte hoek is.

Oplossing

De centrale hoek ∠AOB behorende bij de diameter is een vlakke hoek, waarvan de maat 180º is.

Volgens Stelling 1 heeft elke hoek in de omtrek die hetzelfde akkoord insluit (in dit geval de diameter), als maat de helft van de centrale hoek die hetzelfde akkoord insluit, wat in ons voorbeeld 180º / 2 = 90º is.

Figuur 9. Elke ingeschreven hoek die overeenkomt met de diameter is een rechte hoek. Bron: F. Zapata met Geogebra.

- Voorbeeld 2

De lijn (BC) die A raakt aan de omtrek C, bepaalt de ingeschreven hoek ∠BAC (zie figuur 10).

Controleer of aan Stelling 1 van de ingeschreven hoeken is voldaan.

Figuur 10. Ingeschreven hoek BAC en zijn centrale convexe hoek AOA. Bron: F. Zapata met Geogebra.

Oplossing

De hoek ∠BAC is ingeschreven omdat het hoekpunt zich op de omtrek bevindt en de zijden [AB) en [AC) de omtrek raken, zodat aan de definitie van de ingeschreven hoek wordt voldaan.

Aan de andere kant, de ingeschreven hoek ∠BAC onderspant de boog A⌒A, die de volledige omtrek is. De centrale hoek die de boog A⌒A onderspant, is een convexe hoek waarvan de maat de volledige hoek (360º) is.

De ingeschreven hoek die de hele boog onderspant, meet de helft van de bijbehorende centrale hoek, dat wil zeggen ∠BAC = 360º / 2 = 180º.

Met al het bovenstaande wordt geverifieerd dat dit specifieke geval voldoet aan Stelling 1.

Referenties

1. Baldor. (1973). Geometrie en trigonometrie. Centraal-Amerikaanse culturele uitgeverij.
2. EA (2003). Geometrie-elementen: met oefeningen en kompasgeometrie. Universiteit van Medellin.
3. Geometrie 1e ESO. Hoeken op de omtrek. Hersteld van: edu.xunta.es/
4. Alle wetenschap. Voorgestelde oefeningen van hoeken in de omtrek. Hersteld van: francesphysics.blogspot.com
5. Wikipedia. Ingeschreven hoek. Hersteld van: es.wikipedia.com