DE WETTEN VAN KEPLER: UITLEG, OEFENINGEN, EXPERIMENT - FYSIEK - 2026

De wetten van de planetaire beweging van de Kepler zijn gemaakt door de Duitse astronoom Johannes Kepler (1571-1630). Kepler leidde ze af op basis van het werk van zijn leraar, de Deense astronoom Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe verzamelde zorgvuldig de gegevens van planetaire bewegingen gedurende meer dan 20 jaar, met verrassende precisie en nauwkeurigheid, aangezien de telescoop op dat moment nog niet was uitgevonden. De geldigheid van uw gegevens blijft ook vandaag geldig.

Figuur 1. De banen van de planeten volgens de wetten van Kepler. Bron: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

De 3 wetten van Kepler

De wetten van Kepler bepalen:

-Eerste wet : alle planeten beschrijven elliptische banen met de zon in een van de brandpunten.

Dit betekent dat de verhouding T ² / r ³ hetzelfde is voor alle planeten, wat het mogelijk maakt om de baanradius te berekenen, als de omlooptijd bekend is.

Wanneer T wordt uitgedrukt in jaren en r in astronomische eenheden AU *, is de evenredigheidsconstante k = 1:

* Een astronomische eenheid is gelijk aan 150 miljoen kilometer, wat de gemiddelde afstand is tussen de aarde en de zon. De omlooptijd van de aarde is 1 jaar.

De wet van universele gravitatie en de derde wet van Kepler

De universele wet van de zwaartekracht stelt dat de grootte van de aantrekkingskracht tussen twee objecten met massa M en m, waarvan de middelpunten zijn gescheiden door een afstand r, wordt gegeven door:

G is de universele gravitatieconstante en de waarde ervan is G = 6,674 x ^10-11 Nm ² / kg ² .

Nu zijn de banen van de planeten elliptisch met een zeer kleine excentriciteit.

Dit betekent dat de baan niet ver verwijderd is van een omtrek, behalve in sommige gevallen zoals de dwergplaneet Pluto. Als we de banen benaderen naar de cirkelvorm, is de versnelling van de beweging van de planeet:

Aangezien F = ma, hebben we:

Hier is v de lineaire snelheid van de planeet rond de zon, aangenomen statisch en met massa M, terwijl die van de planeet m is. Zo:

Dit verklaart dat de planeten die verder van de zon verwijderd zijn een lagere omloopsnelheid hebben, aangezien deze afhangt van 1 / √r.

Aangezien de afstand die de planeet aflegt ongeveer de lengte van de omtrek is: L = 2πr en het een tijd kost die gelijk is aan T, de omlooptijd, krijgen we:

Het gelijkstellen van beide uitdrukkingen voor v geeft een geldige uitdrukking voor T ² , het kwadraat van de omlooptijd:

En dit is precies de derde wet van Kepler, aangezien in deze uitdrukking het haakje 4π ² / GM constant is, daarom is T ² evenredig met de afstand r in blokjes.

De definitieve vergelijking voor de omlooptijd wordt verkregen door de vierkantswortel te nemen:

Figuur 3. Aphelion en perihelium. Bron: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Openbaar domein

Daarom vervangen we r door a in de derde wet van Kepler, wat resulteert voor Halley in:

Oplossing b

a = ½ (Perihelion + Aphelion)

Experiment

Het analyseren van de beweging van de planeten vereist weken, maanden en zelfs jaren van zorgvuldige observatie en registratie. Maar in het laboratorium kan een heel eenvoudig experiment op een heel eenvoudige schaal worden uitgevoerd om te bewijzen dat de wet van Kepler van gelijke gebieden geldt.

Dit vereist een fysiek systeem waarin de kracht die de beweging beheerst centraal staat, een voldoende voorwaarde om aan het gebiedsrecht te voldoen. Zo'n systeem bestaat uit een massa die is vastgemaakt aan een lang touw, met het andere uiteinde van de draad vastgemaakt aan een steun.

De massa wordt vanuit zijn evenwichtspositie een kleine hoek verplaatst en krijgt een lichte impuls, zodat hij een ovale (bijna elliptische) beweging in het horizontale vlak uitvoert, alsof het een planeet rond de zon is.

Op de curve die door de slinger wordt beschreven, kunnen we bewijzen dat deze gelijke gebieden in gelijke tijden veegt, als:

-We beschouwen vectorstralen die van het aantrekkingscentrum (beginpunt van evenwicht) naar de positie van de massa gaan.

-En we vegen tussen twee opeenvolgende momenten van gelijke duur, in twee verschillende delen van de beweging.

Hoe langer de slingerpees en hoe kleiner de hoek van de verticaal af, de netto herstelkracht zal meer horizontaal zijn en de simulatie lijkt op het geval van beweging met centrale kracht in een vlak.

Dan nadert het beschreven ovaal een ellips, zoals degene die planeten reizen.

materialen

-Onuitrekbare draad

-1 massa of metalen bal wit geverfd die fungeert als een slingerbob

-Heerser

-Transportband

-Fotografische camera met automatische stroboscoopschijf

-Ondersteunt

-Twee lichtbronnen

-Een vel zwart papier of karton

Werkwijze

Het monteren van de figuur is nodig om foto's te maken van meerdere flitsen van de slinger terwijl deze zijn pad volgt. Hiervoor moet je de camera net boven de slinger plaatsen en de automatische stroboscoopschijf voor de lens.

Figuur 4. De slinger in elkaar zetten om te controleren of deze gelijke delen in gelijke tijden veegt. Bron: PSSC-laboratoriumgids.

Op deze manier worden beelden verkregen met regelmatige tijdsintervallen van de slinger, bijvoorbeeld elke 0,1 of elke 0,2 seconde, waardoor we weten hoeveel tijd het kostte om van het ene punt naar het andere te gaan.

Je moet ook de massa van de slinger goed verlichten door de lichten aan beide kanten te plaatsen. De linze moet wit worden geverfd om het contrast op de achtergrond te verbeteren, die bestaat uit een zwart papier dat over de grond is uitgespreid.

Nu moet u controleren of de slinger gelijke delen in gelijke tijden veegt. Om dit te doen, wordt een tijdsinterval gekozen en worden de punten die door de slinger in dat interval worden ingenomen, op het papier gemarkeerd.

Er wordt een lijn op de afbeelding getrokken vanuit het midden van het ovaal naar deze punten en dus zullen we de eerste van de gebieden laten vegen door de slinger, wat ongeveer een elliptische sector is zoals hieronder:

Figuur 5. Oppervlakte van een elliptische sector. Bron: F. Zapata.

Berekening van de oppervlakte van het elliptische gedeelte

Met de gradenboog worden de hoeken θ _o en θ ₁ gemeten , en deze formule wordt gebruikt om S te vinden, het gebied van de elliptische sector:

Met F (θ) gegeven door:

Merk op dat a en b respectievelijk de grote en kleine halve assen zijn. De lezer hoeft zich alleen zorgen te maken over het zorgvuldig meten van de halve assen en de hoeken, aangezien er online rekenmachines zijn om deze uitdrukking gemakkelijk te evalueren.

Als u de berekening echter met de hand wilt uitvoeren, onthoud dan dat de hoek θ wordt gemeten in graden, maar wanneer u de gegevens in de rekenmachine invoert, moeten de waarden worden uitgedrukt in radialen.

Vervolgens moet je nog een paar punten markeren waarin de slinger hetzelfde tijdsinterval heeft omgekeerd, en het overeenkomstige gebied tekenen, waarbij je de waarde ervan berekent met dezelfde procedure.

Verificatie van de wet van gelijke gebieden

Ten slotte blijft het om te verifiëren dat aan de wet van gebieden is voldaan, dat wil zeggen dat gelijke gebieden in gelijke tijden worden geveegd.

Wijken de resultaten enigszins af van wat werd verwacht? Houd er altijd rekening mee dat alle metingen vergezeld gaan van hun respectievelijke experimentele fout.

Referenties

1. Keisan online rekenmachine. Oppervlakte van een elliptische sectorcalculator. Hersteld van: keisan.casio.com.
2. Openstax. Kepler's Law of Planetary Motion. Hersteld van: openstax.org.
3. PSSC. Laboratoriumfysica. Redactioneel Reverté. Hersteld van: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. Astronomy. Schaum-serie. McGraw Hill.
5. Pérez R. Eenvoudig systeem met centrale kracht. Hersteld van: francesphysics.blogspot.com
6. Stern, D. Kepler's drie wetten van planetaire beweging. Hersteld van: phy6.org.