- Voorbeelden
- De voordelen van logaritmen
- Voorbeeld
- Antwoord
- Toepassingsoefening: de schaal van Richter
- Oplossing
- Referenties
De logaritmische functie is een wiskundige relatie die elk positief reëel getal x associeert met zijn logaritme y op basis a. Deze relatie voldoet aan de eisen om een functie te zijn: elk element x behorend bij het domein heeft een unieke afbeelding.
Dus:
Omdat de logaritme gebaseerd op een getal x het getal y is waarnaar grondtal a moet worden verhoogd om x te verkrijgen.
-De logaritme van het grondtal is altijd 1. De grafiek van f (x) = log a x snijdt dus altijd de x-as op het punt (1,0)
-De logaritmische functie is transcendent en kan niet worden uitgedrukt als een polynoom of als een quotiënt hiervan. Naast de logaritme omvat deze groep onder meer de trigonometrische functies en de exponentiële.
Voorbeelden
De logaritmische functie kan worden bepaald door verschillende basen, maar de meest gebruikte zijn 10 en e, waarbij e het Eulergetal gelijk is aan 2,71828….
Wanneer grondtal 10 wordt gebruikt, wordt de logaritme een decimale logaritme, gewone logaritme, Briggs 'of gewoon logaritme genoemd.
En als het getal e wordt gebruikt, wordt het een natuurlijke logaritme genoemd, naar John Napier, de Schotse wiskundige die logaritmen ontdekte.
De notatie die voor elk wordt gebruikt, is de volgende:
-Decimale logaritme: log 10 x = log x
-Neperiaanse logaritme: ln x
Wanneer u een andere basis gaat gebruiken, is het absoluut noodzakelijk om dit als een subscript aan te geven, omdat de logaritme van elk nummer verschilt afhankelijk van de te gebruiken basis. Als het bijvoorbeeld logaritmen in grondtal 2 zijn, schrijft u:
y = logboek 2 x
Laten we eens kijken naar de logaritme van het getal 10 in drie verschillende bases, om dit punt te illustreren:
logboek 10 = 1
ln 10 = 2,30259
logboek 2 10 = 3.32193
Gewone rekenmachines brengen alleen decimale logaritmen (logfunctie) en natuurlijke logaritme (ln-functie). Op internet zijn er rekenmachines met andere bases. In elk geval kan de lezer met zijn hulp verifiëren dat aan de vorige waarden is voldaan:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Kleine decimale verschillen zijn te wijten aan het aantal decimalen dat wordt gebruikt bij het berekenen van de logaritme.
De voordelen van logaritmen
Een van de voordelen van het gebruik van logaritmen is het gemak waarmee ze kunnen werken met grote getallen, door hun logaritme te gebruiken in plaats van het getal rechtstreeks.
Dit is mogelijk omdat de logaritmefunctie langzamer groeit naarmate de getallen groter worden, zoals we in de grafiek kunnen zien.
Dus zelfs bij zeer grote getallen zijn hun logaritmen veel kleiner en is het manipuleren van kleine getallen altijd gemakkelijker.
Bovendien hebben logaritmen de volgende eigenschappen:
- Product : log (ab) = log a + log b
- Quotiënt : log (a / b) = log a - log b
- Vermogen : log a b = b.log a
En op deze manier worden de producten en quotiënten optellingen en aftrekkingen van kleinere getallen, terwijl de empowerment een eenvoudig product wordt, ook al is de kracht hoog.
Daarom stellen logaritmen ons in staat om getallen uit te drukken die variëren in zeer grote waardenbereiken, zoals de intensiteit van geluid, de pH van een oplossing, de helderheid van sterren, de elektrische weerstand en de intensiteit van aardbevingen op de schaal van Richter.
Figuur 2. Logaritmen worden gebruikt op de schaal van Richter om de omvang van aardbevingen te kwantificeren. De afbeelding toont een ingestort gebouw in Concepción, Chili, tijdens de aardbeving van 2010. Bron: Wikimedia Commons.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld van de afhandeling van de eigenschappen van logaritmen:
Voorbeeld
Zoek de waarde van x in de volgende uitdrukking:
Antwoord
We hebben hier een logaritmische vergelijking, aangezien het onbekende in het argument van de logaritme zit. Het wordt opgelost door een enkele logaritme aan elke kant van de gelijkheid achter te laten.
We beginnen met het plaatsen van alle termen die "x" bevatten aan de linkerkant van de gelijkheid, en degene die alleen cijfers bevatten aan de rechterkant:
logboek (5x + 1) - logboek (2x-1) = 1
Aan de linkerkant hebben we de aftrekking van twee logaritmen, die kunnen worden geschreven als de logaritme van een quotiënt:
log = 1
Aan de rechterkant is echter het nummer 1, dat we kunnen uitdrukken als log 10, zoals we eerder zagen. Zo:
log = logboek 10
Om gelijkheid waar te maken, moeten de argumenten van de logaritmen gelijk zijn:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Toepassingsoefening: de schaal van Richter
In 1957 vond er een aardbeving plaats in Mexico met een kracht van 7,7 op de schaal van Richter. In 1960 deed zich in Chili nog een aardbeving van grotere omvang voor, namelijk 9,5.
Bereken hoeveel keer de aardbeving in Chili was intenser dan in Mexico, wetende dat de magnitude M R op de schaal van Richter wordt gegeven door de formule:
M R = logboek (10 4 I)
Oplossing
De omvang van een aardbeving op de schaal van Richter is een logaritmische functie. We gaan de intensiteit van elke aardbeving berekenen, aangezien we de magnitudes van Richter hebben. Laten we het stap voor stap doen:
- Mexico : 7,7 = logboek (10 4 I)
Omdat de inverse van de logaritmefunctie de exponentiële is, passen we dit toe op beide zijden van de gelijkheid met de bedoeling I op te lossen, wat gevonden wordt in het argument van de logaritme.
Omdat het decimale logaritmen zijn, is het grondtal 10. Dan:
10 7,7 = 10 4 I
De intensiteit van de aardbeving in Mexico was:
IK M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Chili : 9,5 = logboek (10 4 I)
Dezelfde procedure leidt ons naar de intensiteit van de aardbeving in de Chileense I Ch :
Ik Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
Nu kunnen we beide intensiteiten vergelijken:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
Ik Ch = 63,1. Ik M
De aardbeving in Chili was ongeveer 63 keer heviger dan die in Mexico. Omdat de magnitude logaritmisch is, groeit deze langzamer dan de intensiteit, dus een verschil van 1 in de magnitude betekent een 10 keer grotere amplitude van de seismische golf.
Het verschil tussen de magnitudes van beide aardbevingen is 1,8, daarom konden we een verschil in intensiteit verwachten dat dichter bij 100 ligt dan bij 10, zoals het werkelijk gebeurde.
Als het verschil precies 2 was geweest, zou de Chileense aardbeving 100 keer intenser zijn geweest dan de Mexicaanse.
Referenties
- Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Nationale Universiteit van de Litoral.
- Figuera, J. 2000. Wiskunde 1e. Gediversifieerd jaar. CO-BO edities.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Berekening van een variabele. 9e. Editie. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: wiskunde voor calculus. 5e. Editie. Cengage leren.