WISKUNDIGE VERWACHTING: FORMULE, EIGENSCHAPPEN, VOORBEELDEN, OEFENING - DUDAS - 2026

De wiskundige verwachting of verwachte waarde van de willekeurige variabele X, wordt aangeduid als E (X) en wordt gedefinieerd als de som van het product tussen de waarschijnlijkheid dat een willekeurige gebeurtenis plaatsvindt en de waarde van die gebeurtenis.

In wiskundige vorm wordt het als volgt uitgedrukt:

Figuur 1. Wiskundige verwachting wordt veel gebruikt op de aandelenmarkt en in verzekeringen. Bron: Pixabay.

Waar x _i de waarde van de gebeurtenis is en P (x _i ) de waarschijnlijkheid van optreden. De sommatie strekt zich uit over alle waarden die X toelaat. En als deze eindig zijn, convergeert de aangegeven som naar de waarde E (X), maar convergeert de som niet, dan heeft de variabele gewoon geen verwachte waarde.

Als het een continue variabele x is, kan de variabele oneindige waarden hebben en vervangen de integralen de sommaties:

Hier vertegenwoordigt f (x) de kansdichtheidsfunctie.

Over het algemeen is de wiskundige verwachting (dat is een gewogen gemiddelde) niet gelijk aan het rekenkundig gemiddelde of gemiddelde, tenzij we te maken hebben met discrete verdelingen waarin elke gebeurtenis even waarschijnlijk is. Dan, en alleen dan:

Waar n het aantal mogelijke waarden is.

Het concept is erg handig in financiële markten en verzekeringsmaatschappijen, waar zekerheden vaak ontbreken, maar waarschijnlijkheden bestaan.

Eigenschappen van wiskundige verwachting

Onder de belangrijkste eigenschappen van wiskundige verwachting vallen de volgende op:

- Teken: als X positief is, dan zal E (X) ook positief zijn.

- Verwachte waarde van een constante : de verwachte waarde van een reële constante k is de constante.

- Lineariteit in de som: de verwachting van een willekeurige variabele die op zijn beurt de som is van twee variabelen X en Y is de som van de verwachtingen.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Vermenigvuldiging met een constante : als de willekeurige variabele de vorm kX heeft, waarbij k een constante is (een reëel getal), valt deze buiten de verwachte waarde.

- Verwachte waarde van het product en onafhankelijkheid tussen variabelen : als een willekeurige variabele het product is van de willekeurige variabelen X en Y, die onafhankelijk zijn, dan is de verwachte waarde van het product het product van de verwachte waarden.

In het algemeen, als Y = g (X):

- Bestelling in verwachte waarde: als X ≤ Y, dan:

Omdat er de verwachte waarden van elk van hen zijn.

De wiskundige verwachting bij wedden

Toen de beroemde astronoom Christian Huygens (1629-1695) niet naar de lucht keek, legde hij zich onder meer toe op het bestuderen van kansspelen bij kansspelen. Hij was het die het concept van wiskundige hoop introduceerde in zijn werk uit 1656 getiteld: Reasoning about kansspelen.

Figuur 2. Christiaan Huygens (1629-1625) was een briljante en veelzijdige wetenschapper, aan wie we het concept van verwachte waarde te danken hebben.

Huygens ontdekte dat weddenschappen op drie manieren konden worden geclassificeerd, op basis van de verwachte waarde:

-Games met voordeel: E (X)> 0

- Eerlijke weddenschappen: E (X) = 0

-Game met een nadeel: E (X) <0

Het probleem is dat bij een kansspel de wiskundige verwachting niet altijd eenvoudig te berekenen is. En als je kunt, is het resultaat soms teleurstellend voor degenen die zich afvragen of ze wel of niet willen wedden.

Laten we een simpele gok proberen: kop of munt en de verliezer betaalt $ 1 koffie. Wat is de verwachte waarde van deze weddenschap?

Welnu, de kans dat een kop wordt gerold is ½, gelijk aan een munt. De willekeurige variabele is om $ 1 te winnen of $ 1 te verliezen, de winst wordt aangegeven met het + -teken en het verlies met het -teken -.

We ordenen de informatie in een tabel:

We vermenigvuldigen de waarden van de kolommen: 1. ½ = ½ en (-1). ½ = -½ en als laatste worden de resultaten opgeteld. De som is 0 en het is een eerlijk spel, waarbij van de deelnemers wordt verwacht dat ze niet winnen of verliezen.

Franse roulette en de loterij zijn handicapspellen waarin de meeste gokkers verliezen. Later is er een iets complexere inzet in de sectie opgeloste oefeningen.

Voorbeelden

Hier zijn enkele eenvoudige voorbeelden waarbij het concept van wiskundige verwachting intuïtief is en het concept verduidelijkt:

voorbeeld 1

We beginnen met een eerlijke dobbelsteen. Wat is de verwachte waarde van de lancering? Als de dobbelsteen eerlijk is en 6 koppen heeft, is de kans dat een waarde (X = 1, 2, 3 … 6) zal rollen 1/6, zoals hier:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Figuur 3. Bij de worp van een eerlijke dobbelsteen is de verwachte waarde geen mogelijke waarde. Bron: Pixabay.

De verwachte waarde is in dit geval gelijk aan het gemiddelde, aangezien elk vlak dezelfde kans heeft om eruit te komen. Maar E (X) is geen mogelijke waarde, aangezien geen kop 3,5 waard is. Dit is perfect mogelijk in sommige distributies, hoewel in dit geval het resultaat de gokker niet veel helpt.

Laten we eens kijken naar een ander voorbeeld met het opgooien van twee munten.

Voorbeeld 2

Twee eerlijke munten worden de lucht in gegooid en we definiëren de willekeurige variabele X als het aantal koppen dat wordt gegooid. De gebeurtenissen die kunnen optreden, zijn de volgende:

-Er komen geen koppen op: 0 koppen wat gelijk is aan 2 staarten.

-Het komt uit 1 kop en 1 stempel of muntstukken.

- Er komen twee gezichten naar buiten.

Laat C een hoofd zijn en T een zegel, de monsterruimte die deze gebeurtenissen beschrijft, is de volgende:

S _m = {-Seal Seal; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

De waarschijnlijkheid dat de gebeurtenissen plaatsvinden zijn:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

De tabel is opgebouwd met de verkregen waarden:

Volgens de aan het begin gegeven definitie wordt de wiskundige verwachting berekend als:

Waarden vervangen:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Dit resultaat wordt als volgt geïnterpreteerd: als een persoon genoeg tijd heeft om een ​​groot aantal experimenten uit te voeren door de twee munten te gooien, wordt van hem verwacht dat hij bij elke worp een hoofd krijgt.

We weten echter dat releases met 2 labels perfect mogelijk zijn.

Oefening opgelost

Bij het opgooien van twee eerlijke munten wordt de volgende inzet gedaan: als er 2 koppen uitkomen, win je $ 3, als er 1 kop uitkomt, win je $ 1, maar als er twee zegels uitkomen, moet je $ 5 betalen. Bereken de verwachte winst van de weddenschap.

Figuur 4. Afhankelijk van de inzet verandert de wiskundige verwachting bij het opgooien van twee eerlijke munten. Bron: Pixabay.

Oplossing

De willekeurige variabele X is de waarde die het geld opneemt in de weddenschap en de kansen werden berekend in het vorige voorbeeld, daarom is de tabel van de weddenschap:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Aangezien de verwachte waarde 0 is, is dit een eerlijk spel, dus hier wordt van de gokker verwacht dat hij niet wint en ook niet verliest. De inzetbedragen kunnen echter worden gewijzigd om van de weddenschap een handicapspel of een handicapspel te maken.

Referenties

1. Brase, C. 2009. Begrijpelijke statistieken. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Inleiding tot het concept van verwachte waarde of wiskundige verwachting van een willekeurige variabele. Hersteld van: personal.us.es.
3. Statistieken LibreTexts. Verwachte waarde van discrete willekeurige variabelen. Hersteld van: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elementaire statistieken. 11e. Ed Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Waarschijnlijkheid en statistiek voor wetenschap en techniek. 8e. Editie. Pearson Education.