ELLIPSOÏDE: KENMERKEN EN VOORBEELDEN - ARTE - 2024

De ellipsoïde is een oppervlak in de ruimte dat behoort tot de groep van quadrische oppervlakken en waarvan de algemene vergelijking de vorm heeft:

Het is het driedimensionale equivalent van een ellips, gekenmerkt door elliptische en cirkelvormige sporen in sommige speciale gevallen. De sporen zijn de krommen die worden verkregen door de ellipsoïde te snijden met een vlak.

Figuur 1. Drie verschillende ellipsoïden: bovenaan een bol waarin de drie halve assen gelijk zijn, onderaan links een sferoïde, met twee gelijke halve assen en een andere, en ten slotte rechtsonder een triaxiale bol met drie verschillende assen lengte. Bron: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Naast de ellipsoïde zijn er nog vijf quadrics: hyperboloïde met één en twee vellen, twee soorten paraboloïde (hyperbolisch en elliptisch) en de elliptische kegel. De sporen zijn ook kegelvormig.

De ellipsoïde kan ook worden uitgedrukt door de standaardvergelijking in cartesische coördinaten. Een ellipsoïde gecentreerd op de oorsprong (0,0,0) en op deze manier uitgedrukt, lijkt op de ellips, maar met een aanvullende term:

De waarden van a, b en c zijn reële getallen groter dan 0 en vertegenwoordigen de drie halve assen van de ellipsoïde.

Ellipsoïde kenmerken

- Standaardvergelijking

De standaardvergelijking in cartesiaanse coördinaten voor de ellips gecentreerd op het punt (h, k, m) is:

- Parametrische vergelijkingen van de ellipsoïde

In sferische coördinaten kan de ellipsoïde als volgt worden beschreven:

x = een zonde θ. cos φ

y = b zonde θ. sen φ

z = c cos θ

De halve assen van de ellipsoïde blijven a, b en c, terwijl de parameters de hoeken θ en φ van de volgende figuur zijn:

Figuur 2. Het sferische coördinatensysteem. De ellipsoïde kan worden geparametriseerd met behulp van de weergegeven hoeken theta en phi als parameters. Bron: Wikimedia Commons. Andeggs / Openbaar domein.

- Sporen van de ellipsoïde

De algemene vergelijking van een oppervlak in de ruimte is F (x, y, z) = 0 en de sporen van het oppervlak zijn de krommen:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

In het geval van een ellipsoïde zijn dergelijke krommen ellipsen en soms cirkels.

- Volume

Het volume V van de ellipsoïde wordt gegeven door (4/3) π maal het product van de drie halve assen:

V = (4/3) π. abc

Speciale gevallen van de ellipsoïde

-Een ellipsoïde wordt een bol als alle halve assen dezelfde grootte hebben: a = b = c ≠ 0. Dit is logisch, aangezien de ellipsoïde als een bol is die langs elk verschillend is uitgerekt. as.

-De sferoïde is een ellipsoïde waarin twee van de halve assen identiek zijn en de derde verschillend, het kan bijvoorbeeld a = b ≠ c zijn.

De sferoïde wordt ook wel een omwentelingsellipsoïde genoemd, omdat deze kan worden gegenereerd door ellipsen rond een as te roteren.

Als de rotatieas samenvalt met de hoofdas, is de sferoïde uitgerekt, maar als deze samenvalt met de secundaire as, is deze afgeplat:

Figuur 3. Langwerpige sferoïde aan de linkerkant en langwerpige sferoïde aan de rechterkant. Bron: Wikimedia Commons.

De maat van de afvlakking van de sferoïde (ellipticiteit) wordt gegeven door het verschil in lengte tussen de twee halve assen, uitgedrukt in fractionele vorm, dat wil zeggen, het is de afvlakking van de eenheid, gegeven door:

f = (a - b) / a

In deze vergelijking vertegenwoordigt a de semi-hoofdas en b de semi-secundaire as, onthoud dat de derde as gelijk is aan een van deze voor een sferoïde. De waarde van f ligt tussen 0 en 1 en voor een sferoïde moet deze groter zijn dan 0 (als deze gelijk zou zijn aan 0 zouden we gewoon een bol hebben).

De referentie-ellipsoïde

De planeten en in het algemeen de sterren zijn meestal geen perfecte bollen, omdat de rotatiebeweging rond hun as het lichaam aan de polen plat maakt en het op de evenaar doet uitpuilen.

Dat is de reden waarom de aarde een afgeplatte sferoïde blijkt te zijn, hoewel niet zo overdreven als die in de vorige figuur, en van zijn kant is de gasreus Saturnus de platste van de planeten in het zonnestelsel.

Een meer realistische manier om de planeten weer te geven, is door aan te nemen dat ze als een sferoïde of ellipsoïde van omwenteling zijn, waarvan de semi-hoofdas de equatoriale straal is en de semi-kleine as de polaire straal.

Zorgvuldige metingen op de aardbol hebben het mogelijk gemaakt om de referentie-ellipsoïde van de aarde te bouwen als de meest nauwkeurige manier om wiskundig te werken.

De sterren hebben ook roterende bewegingen waardoor ze min of meer afgeplatte vormen krijgen. De snelle ster Achernar, de achtste helderste ster aan de nachtelijke hemel, in het zuidelijke sterrenbeeld Eridanus is opmerkelijk elliptisch vergeleken met de meeste. Het is 144 lichtjaar van ons verwijderd.

Aan het andere uiterste, een paar jaar geleden vonden wetenschappers het meest bolvormige object ooit gevonden: de ster Kepler 11145123, 5000 lichtjaar verwijderd, tweemaal zo groot als onze zon en een verschil tussen de halve assen van slechts 3 km. Zoals verwacht, draait het ook langzamer.

Wat betreft de aarde, het is ook geen perfecte sferoïde vanwege het ruige oppervlak en lokale variaties in zwaartekracht. Om deze reden is er meer dan één referentiesferoïde beschikbaar en wordt op elke locatie de meest geschikte voor de lokale geografie gekozen.

De hulp van satellieten is van onschatbare waarde bij het maken van steeds nauwkeurigere modellen van de vorm van de aarde, dankzij hen is bijvoorbeeld bekend dat de zuidpool dichter bij de evenaar ligt dan de noordpool.

Figuur 4. Haumea, de trans-Neptuniaanse dwergplaneet heeft een ellipsvormige vorm. Bron: Wikimedia Commons.

Numeriek voorbeeld

Door de rotatie van de aarde wordt een middelpuntvliedende kracht opgewekt waardoor deze de vorm krijgt van een langwerpige ellipsoïde in plaats van een bol. De equatoriale straal van de aarde is 3963 mijl en de polaire straal 3942 mijl.

Zoek de vergelijking van het equatoriale spoor, die van deze ellipsoïde en de maat van zijn afvlakking. Vergelijk ook met de ellipticiteit van Saturnus, met de onderstaande gegevens:

-Saturnus equatoriale straal: 60.268 km

-Polaire straal van Saturnus: 54.364 km

Oplossing

Een coördinatensysteem is vereist, waarvan we aannemen dat het gecentreerd is op de oorsprong (middelpunt van de aarde). We gaan ervan uit dat de verticale z-as en het spoor dat overeenkomt met de evenaar op het xy-vlak ligt, equivalent aan het z = 0-vlak.

In het equatoriale vlak zijn de halve assen a en b gelijk, dus a = b = 3963 mijl, terwijl c = 3942 mijl. Dit is een speciaal geval: een sferoïde gecentreerd op het punt (0,0,0) zoals hierboven vermeld.

Het equatoriale spoor is een cirkel met een straal van R = 3963 mijl, gecentreerd op de oorsprong. Het wordt berekend door z = 0 te maken in de standaardvergelijking:

En de standaardvergelijking van de terrestrische ellipsoïde is:

f _Aarde = (a - b) / a = (3963-3942) mijl / 3963 mijl = 0,0053

f _Saturnus = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Merk op dat de ellipticiteit f een dimensieloze grootheid is.

Referenties

1. ArcGIS voor desktop. Sferoïden en bollen. Hersteld van: desktop.arcgis.com.
2. BBC Wereld. Het mysterie van het meest bolvormige object dat ooit in het universum is ontdekt. Hersteld van: bbc.com.
3. Larson, R. Calculus en analytische meetkunde. Zesde editie. Deel 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipsoïde. Hersteld van: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Sferoïde. Hersteld van: en.wikipedia.org.