ONEINDIGE SET: EIGENSCHAPPEN, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2024

Onder een oneindige set wordt verstaan die set waarin het aantal elementen ontelbaar is. Dat wil zeggen, hoe groot het aantal elementen ook mag zijn, het is altijd mogelijk om meer te vinden.

Het bekendste voorbeeld is de oneindige verzameling van natuurlijke getallen N . Het maakt niet uit hoe groot het aantal is, want je kunt altijd een grotere krijgen in een proces dat geen einde heeft:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Figuur 1. Symbool van oneindigheid. (pixabay)

Het aantal sterren in het universum is ongetwijfeld immens, maar het is niet zeker of het eindig of oneindig is. In tegenstelling tot het aantal planeten in het zonnestelsel waarvan bekend is dat het een eindige reeks is.

Eigenschappen van de oneindige set

Onder de eigenschappen van oneindige sets kunnen we het volgende noemen:

1- De vereniging van twee oneindige sets geeft aanleiding tot een nieuwe oneindige set.

2- De vereniging van een eindige verzameling met een oneindige geeft aanleiding tot een nieuwe oneindige verzameling.

3- Als de subset van een bepaalde set oneindig is, dan is de originele set ook oneindig. De wederkerige verklaring is niet waar.

U kunt geen natuurlijk getal vinden dat de kardinaliteit of het aantal elementen van een oneindige verzameling kan weergeven. De Duitse wiskundige Georg Cantor introduceerde echter het concept van een transfiniet getal om te verwijzen naar een oneindig rangtelwoord groter dan enig natuurlijk getal.

Voorbeelden

De natuurlijke N

Het meest voorkomende voorbeeld van een oneindige verzameling is dat van natuurlijke getallen. De natuurlijke getallen zijn de getallen die worden gebruikt om te tellen, maar de hele getallen die kunnen bestaan, zijn ontelbaar.

De set van natuurlijke getallen omvat geen nul en wordt gewoonlijk aangeduid als de set N , die in uitgebreide vorm als volgt wordt uitgedrukt:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} En is duidelijk een oneindige verzameling.

Een ellips wordt gebruikt om aan te geven dat na het ene cijfer een ander volgt en dan een ander in een eindeloos of eindeloos proces.

De set natuurlijke getallen die is samengevoegd met de set die het getal nul (0) bevat, staat bekend als de set N + .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Wat het resultaat is van de vereniging van de oneindige verzameling N met de eindige verzameling O = {0}, resulterend in de oneindige verzameling N + .

De gehele getallen Z

De reeks gehele getallen Z bestaat uit natuurlijke getallen, natuurlijke getallen met een negatief teken en nul.

De gehele getallen Z worden beschouwd als een evolutie ten opzichte van de natuurlijke getallen N die oorspronkelijk en primitief in het telproces werden gebruikt.

In de numerieke verzameling Z van gehele getallen is nul opgenomen om niets te tellen of te tellen en negatieve getallen om extractie, verlies of gebrek aan iets te tellen.

Om het idee te illustreren, stel dat er een negatief saldo op de bankrekening verschijnt. Dit betekent dat de rekening onder nul is en niet alleen dat de rekening leeg is, maar ook dat er een ontbrekend of negatief verschil is, dat op de een of andere manier moet worden vervangen door de bank.

In uitgebreide vorm wordt de oneindige verzameling Z van gehele getallen als volgt geschreven:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

De rantsoenen Q

Tijdens de evolutie van het proces van tellen en het uitwisselen van dingen, goederen of diensten, verschijnen fractionele of rationale getallen.

Bij het ruilen van een half brood met twee appels kwam iemand op het moment dat de transactie werd geregistreerd bijvoorbeeld bij iemand op dat de helft moest worden geschreven als een stuk of verdeeld in twee delen: ½. Maar de helft van de helft van het brood zou als volgt in de grootboeken worden opgetekend: ½ / ½ = ¼.

Het is duidelijk dat dit proces van delen in theorie eindeloos kan zijn, hoewel het in de praktijk duurt totdat het laatste deeltje brood is bereikt.

De reeks rationele (of fractionele) getallen wordt als volgt weergegeven:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

Het weglatingsteken tussen de twee gehele getallen betekent dat er tussen die twee getallen of waarden oneindige partities of divisies zijn. Daarom wordt gezegd dat de reeks rationale getallen oneindig dicht is. Dit komt omdat hoe dicht twee rationale getallen ook bij elkaar liggen, er oneindige waarden kunnen worden gevonden.

Om het bovenstaande te illustreren, stel dat ons wordt gevraagd om een ​​rationeel getal tussen 2 en 3 te vinden. Dit getal kan 2 zijn, wat bekend staat als een gemengd getal dat bestaat uit 2 hele delen plus een derde van de eenheid, dat is gelijk aan schrijven 4/3.

Tussen 2 en 2⅓ is een andere waarde te vinden, bijvoorbeeld 2⅙. En tussen 2 en 2⅙ is er nog een waarde te vinden, bijvoorbeeld 2⅛. Tussen deze twee nog een, en tussen hen nog een, nog een en nog een.

Figuur 2. Oneindige onderverdelingen in rationale getallen. (Wikimedia Commons)

Irrationele getallen I

Er zijn getallen die niet kunnen worden geschreven als de deling of breuk van twee gehele getallen. Het is deze numerieke set die bekend staat als de set I van irrationele getallen en het is ook een oneindige set.

Enkele opvallende elementen of vertegenwoordigers van deze numerieke reeks zijn het getal pi (π), het Eulergetal (e), de gulden snede of het gulden getal (φ). Deze nummers kunnen alleen grofweg worden geschreven door een rationaal getal:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (en blijft tot in het oneindige en verder…)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (en gaat verder dan oneindig…)

φ = 1.61803398874989484820 …… .. (tot oneindig… ..en verder… ..)

Andere irrationele getallen verschijnen bij het zoeken naar oplossingen voor zeer eenvoudige vergelijkingen, bijvoorbeeld de vergelijking X ^ 2 = 2 heeft geen exacte rationele oplossing. De exacte oplossing wordt uitgedrukt door de volgende symbologie: X = √2, die wordt gelezen als x gelijk aan de wortel van twee. Een benaderende rationele (of decimale) uitdrukking voor √2 is:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Er zijn talloze irrationele getallen, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) om er maar een paar te noemen.

De set van reals R

Reële getallen zijn de getallenverzameling die het meest wordt gebruikt in wiskundige berekeningen, natuurkunde en engineering. Deze getallenreeks is de vereniging van de rationale getallen Q en de irrationele getallen I :

R = Q U I

Oneindigheid groter dan oneindig

Onder de oneindige verzamelingen zijn sommige groter dan andere. Bijvoorbeeld, de verzameling van natuurlijke getallen N is oneindig, maar is een subset van getallen Z die oneindig, dus oneindige verzameling Z is groter dan de oneindige verzameling N .

Ook de set van gehele getallen Z is een subset van de reële getallen R , en dus de set R is "oneindig" de oneindige verzameling Z .

Referenties

1. Celeberrima. Voorbeelden van oneindige sets. Hersteld van: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). BASIS WISKUNDE. Een inleiding tot calculus. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Wiskunde: kwadratische vergelijkingen: hoe een kwadratische vergelijking oplossen. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF en Paul, RS (2003). Wiskunde voor management en economie. Pearson Education.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Wiskunde 1 SEP. Drempel.
6. Preciado, CT (2005). Wiskundecursus 3e. Redactioneel Progreso.
7. Rock, NM (2006). Algebra I is gemakkelijk! Zo makkelijk. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra en trigonometrie. Pearson Education.
9. Wikipedia. Oneindige reeks. Hersteld van: es.wikipedia.com