EINDIGE REEKS: EIGENSCHAPPEN, VOORBEELDEN, OPGELOSTE OEFENINGEN - WISKUNDE - 2024

Onder een eindige verzameling wordt verstaan elke verzameling met een beperkt of telbaar aantal elementen. Voorbeelden van eindige verzamelingen zijn de knikkers die in een zak zitten, de verzameling huizen in een buurt of de verzameling P gevormd door de eerste twintig (20) natuurlijke getallen:

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Het aantal sterren in het universum is ongetwijfeld immens, maar het is niet zeker of het eindig of oneindig is. Het aantal planeten in het zonnestelsel is echter eindig.

Figuur 1. De set polygonen is eindig en ook de subset van de reguliere. (Wikimedia Commons)

Het aantal elementen in een eindige verzameling wordt de kardinaliteit genoemd en voor de verzameling P wordt het als volgt aangeduid: Kaart ( P ) of # P. De lege verzameling heeft een kardinaliteit nul en wordt als een eindige verzameling beschouwd.

Eigendommen

Onder de eigenschappen van eindige verzamelingen zijn de volgende:

1- De vereniging van eindige verzamelingen geeft aanleiding tot een nieuwe eindige verzameling.

2- Als twee eindige verzamelingen elkaar kruisen, resulteert een nieuwe eindige verzameling.

3- Een subset van een eindige verzameling is eindig en zijn kardinaliteit is kleiner dan of gelijk aan die van de originele verzameling.

4- De lege set is een eindige set.

Voorbeelden

Er zijn veel voorbeelden van eindige verzamelingen. Enkele voorbeelden zijn onder meer:

De set M van de maanden van het jaar, die in uitgebreide vorm als volgt geschreven kan worden:

M = {januari, februari, maart, april, mei, juni, juli, augustus, september, oktober, november, december}, de kardinaliteit van M is 12.

De set S van de dagen van de week: S = {maandag, dinsdag, woensdag, donderdag, vrijdag, zaterdag, zondag}. De kardinaliteit van S is 7.

De set Ñ van de letters van het Spaanse alfabet is een eindige set, deze set bij extensie is als volgt geschreven:

Ñ = {een, b, c, d, e, f, g, h, ik, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} en de kardinaliteit is 27.

De verzameling V van de klinkers in het Spaans is een subset van de verzameling Ñ:

V ⊂ Ñ ​​is daarom een ​​eindige verzameling.

De eindige verzameling V in uitgebreide vorm wordt als volgt geschreven: V = {a, e, i, o, u} en de kardinaliteit is 5.

Sets kunnen worden uitgedrukt door begrip. De verzameling F bestaande uit de letters van het woord "eindig" is een voorbeeld:

F = {x / x is een letter van het woord "eindig"}

Genoemde reeks uitgedrukt in uitgebreide vorm zal zijn:

F = {f, i, n, t, o} waarvan de kardinaliteit 5 is en daarom een ​​eindige verzameling is.

Meer voorbeelden

De kleuren van de regenboog is een ander voorbeeld van een eindige set, de set C van deze kleuren is:

C = {rood, oranje, geel, groen, cyaan, blauw, violet} en de kardinaliteit is 7.

De verzameling fasen F van de maan is een ander voorbeeld van een eindige verzameling:

F = {New moon, first quarter, full moon, last quarter} deze set heeft kardinaliteit 4.

Figuur 2. De planeten van het zonnestelsel vormen een eindige reeks. (pixabay)

Een andere eindige reeks is die gevormd door de planeten van het zonnestelsel:

P = {Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, Pluto} van kardinaliteit 9.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

De volgende set A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} wordt gegeven. Druk het in woorden uit en schrijf het bij extensie, geef de kardinaliteit aan en zeg of het eindig is of niet.

Oplossing: De verzameling A is de verzameling reële getallen x zodanig dat x in blokjes wordt gebracht als resultaat 27.

De vergelijking x ^ 3 = 27 heeft drie oplossingen: ze zijn x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) en x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Van de drie oplossingen is alleen x1 echt, terwijl de andere twee complexe getallen zijn.

Omdat de definitie van set A zegt dat x tot de reële getallen behoort, maken de oplossingen voor de complexe getallen geen deel uit van de set A.

De set A uitgebreid uitgedrukt is:

A = {3}, wat een eindige reeks kardinaliteit 1 is.

Oefening 2

Schrijf in symbolische vorm (door begrip) en in uitgebreide vorm de verzameling B van reële getallen die groter zijn dan 0 (nul) en kleiner dan of gelijk aan 0 (nul). Geef de kardinaliteit aan en of het al dan niet eindig is.

Oplossing: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}

De verzameling B is leeg omdat een reëel getal x niet tegelijkertijd groter en kleiner kan zijn dan nul, net zoals het niet 0 kan zijn en ook niet kleiner dan 0.

B = {} en zijn kardinaliteit is 0. De lege verzameling is een eindige verzameling.

Oefening 3

De verzameling S van de oplossingen van een bepaalde vergelijking wordt gegeven. De verzameling S door begrip is als volgt geschreven:

S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}

Schrijf de verzameling in uitgebreide vorm, geef de kardinaliteit aan en geef aan of het een eindige verzameling is.

Oplossing: Ten eerste, bij het analyseren van de uitdrukking die de verzameling S beschrijft, wordt verkregen dat het een verzameling reële x-waarden is die oplossingen zijn van de vergelijking:

(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)

Een oplossing van deze vergelijking is x = 3, wat een reëel getal is en daarom tot S. behoort.Maar er zijn meer oplossingen die kunnen worden verkregen door te zoeken naar de oplossingen van de kwadratische vergelijking:

(x ^ 2 - 9x + 20) = 0

De bovenstaande uitdrukking kan als volgt worden verwerkt:

(x - 4) (x - 5) = 0

Dat leidt ons naar nog twee oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking (*) die x = 4 en x = 5 zijn. Kort gezegd heeft vergelijking (*) als oplossingen 3, 4 en 5.

De set S uitgedrukt in uitgebreide vorm ziet er als volgt uit:

S = {3, 4, 5}, die kardinaliteit 3 ​​heeft en daarom een ​​eindige verzameling is.

Oefening 4

Er zijn twee sets A = {1, 5, 7, 9, 11} en B = {x ∊ N / x is even ^ x <10}.

Schrijf de set B expliciet en zoek de vereniging met de set A. Zoek ook het snijpunt van deze twee sets en sluit af.

Oplossing: de set B is zo opgebouwd uit de natuurlijke getallen dat ze even zijn en ook kleiner zijn dan de waarde 10, daarom wordt in set B in uitgebreide vorm als volgt geschreven:

B = {2, 4, 6, 8}

De vereniging van set A met set B is:

AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}

en het snijpunt van set A met set B wordt als volgt geschreven:

A ⋂ B = {} = Ø is de lege set.

Opgemerkt moet worden dat de vereniging en onderschepping van deze twee eindige verzamelingen tot nieuwe verzamelingen leiden, die op hun beurt ook eindig zijn.

Referenties

1. Fuentes, A. (2016). BASIS WISKUNDE. Een inleiding tot calculus. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Wiskunde: kwadratische vergelijkingen: hoe een kwadratische vergelijking oplossen. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF en Paul, RS (2003). Wiskunde voor management en economie. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Wiskunde 1 SEP. Drempel.
5. Preciado, CT (2005). Wiskundecursus 3e. Redactioneel Progreso.
6. Wiskunde 10 (2018). "Voorbeelden van eindige sets". Hersteld van: matematicas10.net
7. Rock, NM (2006). Algebra I is gemakkelijk! Zo makkelijk. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra en trigonometrie. Pearson Education.
9. Wikipedia. Eindige reeks. Hersteld van: es.wikipedia.com