CONGRUENTIE: CONGRUENTE CIJFERS, CRITERIA, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2024

De congruentie in de geometrie zegt dat als twee vlakke figuren dezelfde vorm en afmetingen hebben, deze congruent zijn. Twee segmenten zijn bijvoorbeeld congruent als hun lengte gelijk is. Evenzo hebben congruente hoeken dezelfde maat, ook al zijn ze niet op dezelfde manier in het vlak georiënteerd.

De term "congruentie" komt van het Latijnse congruentia, waarvan de betekenis correspondentie is. Twee congruente figuren komen dus exact met elkaar overeen.

Figuur 1. Vierhoeken ABCD en A'B'C'D 'in de figuur zijn congruent: hun zijden hebben dezelfde afmeting, evenals hun interne hoeken. Bron: F. Zapata.

Als we bijvoorbeeld de twee vierhoeken in de afbeelding over elkaar heen leggen, zullen we zien dat ze congruent zijn, aangezien de rangschikking van hun zijden identiek is en ze hetzelfde meten.

Door de vierhoeken ABCD en A'B'C'D 'op elkaar te plaatsen, komen de cijfers exact overeen. De samenvallende zijden worden homologe of corresponderende zijden genoemd en het symbool ≡ wordt gebruikt om congruentie uit te drukken. Dus we kunnen zeggen dat ABCD ≡ A'B'C'D '.

Congruentiecriteria

De volgende kenmerken zijn gemeenschappelijk voor congruente polygonen:

-Dezelfde vorm en maat.

-Identieke metingen van hun hoeken.

-Dezelfde maat aan elk van zijn zijden.

In het geval dat twee polygonen in kwestie regelmatig zijn, dat wil zeggen dat alle zijden en binnenhoeken hetzelfde meten, is congruentie verzekerd wanneer aan een van de volgende voorwaarden is voldaan:

-De zijkanten zijn congruent

-De apothemen hebben dezelfde maat

-De straal van elke veelhoek meet hetzelfde

Het apothema van een regelmatige veelhoek is de afstand tussen het midden en een van de zijkanten, terwijl de straal overeenkomt met de afstand tussen het midden en een hoekpunt of hoek van de figuur.

Congruentiecriteria worden vaak gebruikt omdat zoveel onderdelen en stukken van allerlei aard in massa worden geproduceerd en dezelfde vorm en afmetingen moeten hebben. Op deze manier kunnen ze indien nodig gemakkelijk worden vervangen, bijvoorbeeld moeren, bouten, platen of de straatstenen op de grond in de straat.

Figuur 2. De straatstenen van de straat zijn congruente figuren, aangezien hun vorm en afmetingen exact hetzelfde zijn, hoewel hun oriëntatie op de vloer kan veranderen. Bron: Pixabay.

Congruentie, identiteit en gelijkenis

Er zijn geometrische concepten met betrekking tot congruentie, bijvoorbeeld identieke figuren en vergelijkbare figuren, die niet noodzakelijkerwijs impliceren dat de figuren congruent zijn.

Merk op dat de congruente figuren identiek zijn, maar de vierhoeken in figuur 1 zouden op verschillende manieren in het vlak georiënteerd kunnen zijn en toch congruent blijven, aangezien de verschillende oriëntatie de grootte van hun zijden of hun hoeken niet verandert. In dat geval zouden ze niet meer identiek zijn.

Het andere concept is dat van de gelijkenis van figuren: twee vlakke figuren zijn vergelijkbaar als ze dezelfde vorm hebben en hun interne hoeken hetzelfde meten, hoewel de grootte van de figuren kan verschillen. Als dit het geval is, zijn de cijfers niet congruent.

Voorbeelden van congruentie

- Congruentie van hoeken

Zoals we aan het begin hebben aangegeven, hebben congruente hoeken dezelfde maat. Er zijn verschillende manieren om congruente hoeken te verkrijgen:

voorbeeld 1

Twee lijnen met een gemeenschappelijk punt definiëren twee hoeken, tegengestelde hoeken genoemd vanwege de top. Deze hoeken hebben dezelfde maat, daarom zijn ze congruent.

Figuur 3. Tegenovergestelde hoeken bij de top. Bron: Wikimedia Commons.

Voorbeeld 2

Er zijn twee parallelle lijnen plus een lijn t die beide snijdt. Net als in het vorige voorbeeld, wanneer deze lijn de parallellen snijdt, genereert het congruente hoeken, één op elke lijn aan de rechterkant en nog twee aan de linkerkant. De figuur toont α en α ₁ , rechts van lijn t, die congruent zijn.

Figuur 4. De hoeken in de figuur zijn congruent. Bron: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Voorbeeld 3

In een parallellogram zijn er vier binnenhoeken, die twee tot twee congruent zijn. Ze zijn degenen tussen tegenovergestelde hoekpunten, zoals weergegeven in de volgende afbeelding, waarin de twee hoeken in groen congruent zijn, evenals de twee hoeken in rood.

Figuur 5. De binnenhoeken van het parallellogram zijn twee aan twee congruent. Bron: Wikimedia Commons.

- Congruentie van driehoeken

Twee driehoeken van dezelfde vorm en grootte zijn congruent. Om dit te verifiëren zijn er drie criteria die kunnen worden onderzocht op zoek naar congruentie:

- LLL-criterium : de drie zijden van de driehoeken hebben dezelfde afmetingen, dus L ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ en L ₃ = L' _3.

Figuur 6. Voorbeeld van congruente driehoeken waarvan de zijden hetzelfde meten. Bron: F. Zapata.

- ALA en AAL criteria : driehoeken hebben twee gelijke binnenhoeken en de zijde tussen deze hoeken heeft dezelfde maat.

Figuur 7. ALA- en AAL-criteria voor driehoekscongruentie. Bron: Wikimedia Commons.

- LAL-criterium : twee van de zijden zijn identiek (corresponderend) en er is dezelfde hoek tussen beide.

Figuur 8. LAL-criterium voor congruentie van driehoeken. Bron: Wikimedia Commons.

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Twee driehoeken worden getoond in de volgende afbeelding: ΔABC en ΔECF. Het is bekend dat AC = EF, dat AB = 6 en dat CF = 10. Verder zijn de hoeken ∡BAC en ∡FEC congruent en de hoeken ∡ACB en ∡FCB ook congruent.

Figuur 9. Driehoeken voor het uitgewerkte voorbeeld 1. Bron: F. Zapata.

Dan is de lengte van segment BE gelijk aan:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Oplossing

Aangezien de twee driehoeken een zijde van gelijke lengte AC = EF hebben tussen de gelijke hoeken ∡BAC = ∡CEF en ∡BCA = ∡CFE, kan worden gezegd dat de twee driehoeken congruent zijn volgens het ALA-criterium.

Dat wil zeggen, ΔBAC ≡ ΔCEF, dus we moeten:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Maar het te berekenen segment is BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Het juiste antwoord is dus (iii).

- Oefening 2

Drie driehoeken worden weergegeven in de onderstaande afbeelding. Het is ook bekend dat de twee aangegeven hoeken elk 80º meten en dat de segmenten AB = PD en AP = CD. Zoek de waarde van de hoek X die in de afbeelding wordt aangegeven.

Figuur 10. Driehoeken voor het opgeloste voorbeeld 2. Bron: F. Zapata.

Oplossing

Je moet de eigenschappen van de driehoeken toepassen, die stap voor stap worden uitgewerkt.

Stap 1

Beginnend met het LAL-driehoekscongruentiecriterium, kan worden gesteld dat de BAP- en PDC-driehoeken congruent zijn:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Stap 2

Het bovenstaande leidt ertoe dat BP = PC, daarom is de driehoek ΔBPC gelijkbenig en ∡PCB = ∡PBC = X.

Stap 3

Als we de hoek BPC γ noemen, volgt dat:

2x + γ = 180º

Stap 4

En als we de hoeken APB en DCP β en α de hoeken ABP en DPC noemen, hebben we:

α + β + γ = 180º (aangezien APB een vlakke hoek is).

Stap 5

Verder α + β + 80º = 180º door de som van de binnenhoeken van de driehoek APB.

Stap 6

Door al deze uitdrukkingen te combineren, hebben we:

α + β = 100º

Stap 7

En daarom:

γ = 80º.

Stap 8

Ten slotte volgt daaruit dat:

2X + 80º = 180º

Met X = 50º.

Referenties

1. Baldor, A. 1973. Vliegtuig- en ruimtegeometrie. Centraal-Amerikaanse culturele.
2. Stichting CK-12. Congruente veelhoeken. Hersteld van: ck 12.org.
3. Geniet van wiskunde. Definities: Radius (veelhoek). Hersteld van: geniet van thematics.com.
4. Math Open Reference. Polygonen testen op congruentie. Hersteld van: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Congruentie (geometrie). Hersteld van: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Driehoeken, geschiedenis, elementen, classificatie, eigenschappen. Hersteld van: lifeder.com.