- Hoe vind je de oppervlakte van een vijfhoek?
- Oppervlakte van een regelmatige vijfhoek
- Oppervlakte van een onregelmatige vijfhoek
- Gauss-determinant
- Referenties
De oppervlakte van een vijfhoek wordt berekend met behulp van een methode die bekend staat als triangulatie, die op elke veelhoek kan worden toegepast. Deze methode bestaat uit het verdelen van de vijfhoek in verschillende driehoeken.
Hierna wordt de oppervlakte van elke driehoek berekend en tenslotte worden alle gevonden gebieden toegevoegd. Het resultaat is de oppervlakte van de vijfhoek.
De vijfhoek kan ook worden opgedeeld in andere geometrische vormen, zoals een trapezium en een driehoek, zoals de figuur aan de rechterkant.
Het probleem is dat de lengte van de grotere basis en de hoogte van de trapezoïde niet eenvoudig te berekenen zijn. Ook moet de hoogte van de rode driehoek worden berekend.
Hoe vind je de oppervlakte van een vijfhoek?
De algemene methode voor het berekenen van de oppervlakte van een vijfhoek is triangulatie, maar de methode kan rechttoe rechtaan of iets langer zijn, afhankelijk van of de vijfhoek regelmatig is of niet.
Oppervlakte van een regelmatige vijfhoek
Voordat u het gebied berekent, moet u weten wat de apothema is.
Het apothema van een regelmatige vijfhoek (regelmatige veelhoek) is de kleinste afstand van het midden van de vijfhoek (veelhoek) tot het middelpunt van één zijde van de vijfhoek (veelhoek).
Met andere woorden, de apothema is de lengte van het lijnsegment dat van het midden van de vijfhoek naar het middelpunt van één zijde gaat.
Laten we een regelmatige vijfhoek beschouwen, zodat de lengte van de zijkanten "L" is. Om het apothema te berekenen, deelt u eerst de centrale hoek α door het aantal zijden, dat wil zeggen α = 360º / 5 = 72º.
Nu, met behulp van de trigonometrische verhoudingen, wordt de lengte van het apothema berekend zoals weergegeven in de volgende afbeelding.
Daarom heeft de apothema een lengte van L / 2tan (36º) = L / 1,45.
Door de vijfhoek te trianguleren, wordt een figuur zoals hieronder verkregen.
Alle 5 driehoeken hebben dezelfde oppervlakte (omdat ze een regelmatige vijfhoek zijn). Daarom is de oppervlakte van de vijfhoek 5 keer de oppervlakte van een driehoek. Dat wil zeggen: oppervlakte van een vijfhoek = 5 * (L * ap / 2).
Door de waarde van het apothema te vervangen, verkrijgen we dat het gebied A = 1,72 * L² is.
Om de oppervlakte van een regelmatige vijfhoek te berekenen, hoeft u daarom slechts de lengte van één zijde te weten.
Oppervlakte van een onregelmatige vijfhoek
We vertrekken vanuit een onregelmatige vijfhoek, zodat de lengtes van de zijkanten L1, L2, L3, L4 en L5 zijn. In dit geval kan de apothema niet worden gebruikt zoals voorheen.
Na het uitvoeren van de triangulatie wordt een figuur als het volgende verkregen:
Nu gaan we verder met het tekenen en berekenen van de hoogten van deze 5 binnenste driehoeken.
Dus de gebieden van de binnenste driehoeken zijn T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 en T5 = L5 * h5 / 2.
De waarden voor h1, h2, h3, h4 en h5 zijn respectievelijk de hoogten van elke driehoek.
Ten slotte is de oppervlakte van de vijfhoek de som van deze 5 gebieden. Dat wil zeggen, A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.
Zoals u kunt zien, is het berekenen van de oppervlakte van een onregelmatige vijfhoek complexer dan het berekenen van de oppervlakte van een regelmatige vijfhoek.
Gauss-determinant
Er is ook een andere methode waarmee de oppervlakte van een onregelmatige veelhoek kan worden berekend, de zogenaamde Gauss-determinant.
Deze methode bestaat uit het tekenen van de veelhoek op het cartesische vlak, waarna de coördinaten van elk hoekpunt worden berekend.
De hoekpunten worden tegen de klok in opgesomd en tenslotte worden bepaalde determinanten berekend om uiteindelijk de oppervlakte van de polygoon in kwestie te verkrijgen.
Referenties
- Alexander, DC en Koeberlein, GM (2014). Elementaire meetkunde voor studenten. Cengage leren.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
- Lofret, EH (2002). Het boek met tabellen en formules / Het boek met tafels van vermenigvuldiging en formules. Fantasierijk.
- Palmer, CI en Bibb, SF (1979). Praktische wiskunde: rekenen, algebra, meetkunde, trigonometrie en rekenliniaal (herdruk red.). Reverte.
- Posamentier, AS en Bannister, RL (2014). Geometrie, de elementen en structuur: Second Edition. Courier Corporation.
- Quintero, AH & Costas, N. (1994). Geometrie. De redactie, UPR.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrieën. Redactioneel Tecnologica de CR.
- Torah, FB (2013). Wiskunde. 1e didactische eenheid 1e ESO, deel 1. Editorial Club Universitario.
- Víquez, M., Arias, R., en Araya, J. (sf). Wiskunde (zesde jaar). EUNED.