STANDAARD EN EXCESSIEVE BENADERING: WAT HET IS EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2024

De onder- en bovenbenadering is een numerieke methode die wordt gebruikt om de waarde van een getal vast te stellen op basis van verschillende nauwkeurigheidsschalen. Het getal 235.623 is bijvoorbeeld standaard in de buurt van 235,6 en bij overschrijding 235,7. Als we de tienden beschouwen als een foutgrens.

Benaderen bestaat uit het vervangen van een exact getal door een ander, waarbij die vervanging de bewerkingen van een wiskundig probleem moet vergemakkelijken, waarbij de structuur en de essentie van het probleem behouden blijft.

Bron: Pexels.

A ≈B

Er staat; Een benadering B . Waarbij "A" de exacte waarde vertegenwoordigt en "B" de geschatte waarde.

Significante cijfers

De waarden waarmee een geschat aantal wordt gedefinieerd, worden significante cijfers genoemd. In de voorbeeldbenadering zijn vier significante cijfers genomen. De precisie van een getal wordt bepaald door het aantal significante cijfers dat het definieert.

De oneindige nullen die zowel rechts als links van het nummer kunnen worden geplaatst, worden niet als significante cijfers beschouwd. De plaats van de komma speelt geen rol bij het definiëren van de significante cijfers van een getal.

750385

. . . . 00.0075038500. . . .

75.038500000. . . . .

750385000. . . . .

. . . . . 000007503850000. . . . .

Waar bestaat het uit?

De methode is vrij eenvoudig; kies de foutgrens, die niets anders is dan het numerieke bereik waar u de snede wilt maken. De waarde van dit bereik is rechtevenredig met de foutmarge van het geschatte aantal.

In het bovenstaande voorbeeld bezit 235.623 duizendsten (623). Dan is de benadering tot tienden gemaakt. De overwaarde (235,7) komt overeen met de meest significante waarde in tienden direct na het oorspronkelijke getal.

Aan de andere kant komt de standaardwaarde (235,6) overeen met de dichtstbijzijnde en meest significante waarde in tienden die vóór het oorspronkelijke getal ligt.

De numerieke benadering is in de praktijk vrij gebruikelijk met getallen. Andere veelgebruikte methoden zijn afronden en afkappen ; die reageren op verschillende criteria om de waarden toe te wijzen.

De foutmarge

Bij het definiëren van het numerieke bereik dat het getal beslaat nadat het is benaderd, definiëren we ook de foutgrens die bij de figuur hoort. Dit wordt aangegeven met een bestaand of significant rationaal getal in het toegewezen bereik.

In het eerste voorbeeld hebben de waarden gedefinieerd door overschrijding (235,7) en standaard (235,6) een geschatte fout van 0,1. In statistische en waarschijnlijkheidsstudies worden 2 soorten fouten behandeld met betrekking tot de numerieke waarde; absolute fout en relatieve fout.

Weegschalen

De criteria voor het vaststellen van benaderingsbereiken kunnen zeer variabel zijn en hangen nauw samen met de specificaties van het te benaderen element. In landen met een hoge inflatie, negeren de excessieve benaderingen sommige numerieke bereiken, aangezien deze lager zijn dan de inflatoire schaal.

Op deze manier zal een verkoper bij een inflatie van meer dan 100% een product niet aanpassen van $ 50 naar $ 55, maar het benaderen naar $ 100, waarbij hij de eenheden en tientallen negeert door direct de honderd te benaderen.

Met behulp van de rekenmachine

Conventionele rekenmachines brengen de FIX-modus met zich mee, waar de gebruiker het aantal decimalen kan configureren dat ze in hun resultaten willen ontvangen. Dit genereert fouten waarmee rekening moet worden gehouden bij het maken van exacte berekeningen.

Irrationele getallen benadering

Sommige waarden die veel worden gebruikt in numerieke bewerkingen, behoren tot de reeks irrationele getallen, waarvan het belangrijkste kenmerk is dat ze een onbepaald aantal decimalen hebben.

bron: Pexels.

Waarden als:

• π = 3,141592654….
• e = 2,718281828 …
• √2 = 1.414213562…

Ze komen vaak voor bij experimenten en hun waarden moeten binnen een bepaald bereik worden gedefinieerd, rekening houdend met de mogelijke gegenereerde fouten.

Waar zijn ze voor?

In het geval van deling (1 ÷ 3), wordt door experimenten waargenomen, de noodzaak om een ​​vermindering van het aantal uitgevoerde bewerkingen vast te stellen om het aantal te definiëren.

1 ÷ 3 = 0,333333. . . . . .

1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333. . . . . / 10000. . . . . = 0,333333. . . . .

Er wordt een operatie gepresenteerd die voor onbepaalde tijd kan worden voortgezet, dus het is nodig om op een gegeven moment een schatting te maken.

In het geval van:

1 ÷ 3 333333. . . . . / 10000. . . . . = 0,333333. . . . .

Voor elk punt dat als foutmarge is vastgesteld, wordt een getal verkregen dat kleiner is dan de exacte waarde van (1 ÷ 3). Op deze manier zijn alle eerder gemaakte benaderingen standaardbenaderingen van (1 ÷ 3).

Voorbeelden

voorbeeld 1

1. Welke van de volgende getallen is een standaardbenadering van 0,0127

• 0,13
• 0,012; Het is een standaardbenadering van 0,0127
• 0,01; Het is een standaardbenadering van 0,0127
• 0,0128

Voorbeeld 2

1. Welke van de volgende nummers is een overmaat benadering van 23.435

• 24; is een benadering van meer dan 23.435
• 23.4
• 23.44; is een benadering van meer dan 23.435
• 23,5; is een benadering van meer dan 23.435

Voorbeeld 3

1. Definieer de volgende getallen met behulp van een standaardbenadering , met de opgegeven fout gebonden.

• 547.2648…. Voor duizendsten, honderdsten en tientallen.

Duizendsten: de duizendsten komen overeen met de eerste 3 cijfers na de komma, en na 999 komt de eenheid. We gaan over tot ongeveer 547.264.

Honderdsten: aangegeven door de eerste 2 cijfers na de komma, de honderdsten moeten voldoen, 99 om eenheid te bereiken. Op deze manier benadert het standaard 547,26.

Tens: In dit geval is de foutgrens veel hoger, omdat het bereik van de benadering wordt gedefinieerd binnen de gehele getallen. Als je standaard een schatting maakt van de tien, krijg je 540.

Voorbeeld 4

1. Definieer de volgende getallen met een te grote benadering , met de opgegeven fout gebonden.

• 1204,27317 Voor tienden, honderden en enen.

Tienden: Verwijst naar het eerste cijfer na de komma, waarbij de eenheid is samengesteld na 0.9. Het overschrijden van de tienden geeft 1204,3 .

Honderden: Opnieuw wordt een foutgrens waargenomen waarvan het bereik binnen de gehele getallen van de figuur valt. Het benaderen van de honderden door teveel geeft 1300 . Dit cijfer wijkt aanzienlijk af van 1204.27317. Daarom worden gewoonlijk geen benaderingen toegepast op gehele waarden.

Eenheden: Door overmatig de eenheid te naderen, wordt 1205 verkregen .

Voorbeeld 5

1. Een naaister knipt een stuk stof van 135,3 cm lang om een ​​vlag van 7855 cm ² te maken . Hoeveel de andere kant meet als u een conventionele liniaal gebruikt die tot millimeters markeert.

Benader de resultaten met overmaat en defect .

Het gebied van de vlag is rechthoekig en wordt bepaald door:

A = zijde x zijde

kant = A / kant

zijkant = 7855cm ² / 135,3cm

zijkant = 58,05617147 cm

Vanwege de waardering van de regel kunnen we gegevens verkrijgen tot millimeters, wat overeenkomt met het bereik van decimalen ten opzichte van de centimeter.

Zo 58cm is een standaard benadering.

Terwijl 58.1 een te grote benadering is.

Voorbeeld 6

1. Definieer 9 waarden die exacte getallen kunnen zijn in elk van de benaderingen:

• 34.071 resultaten van geschatte duizendsten standaard

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• 0,012 resultaten van bij benadering duizendsten door standaard

0,01291 0,012099 0,01202

0,01233 0,01223 0,01255

0,01201 0,0121457 0,01297

• 23,9 is het resultaat van het benaderen van tienden door overmaat

23,801 23,85555 23,81

23,89 23,8324 23,82

23,833 23,84 23,80004

• 58.37 is het resultaat van het benaderen van honderdsten door overschrijding

58.3605 58.36001 58.36065

58.3655 58.362 58.363

58.3623 58.361 58.3634

Voorbeeld 7

1. Benader elk irrationeel getal volgens de aangegeven foutgrens:

• π = 3,141592654….

Duizendsten standaard π = 3,141

Duizendsten door teveel π = 3,142

Honderdsten standaard π = 3,14

Honderdsten meer π = 3,15

Tienden standaard π = 3,1

Tienden bij overmaat π = 3,2

• e = 2,718281828 …

Duizendsten standaard e = 2,718

Duizendsten door overmaat e = 2,719

Honderdsten standaard e = 2,71

Honderdsten meer e = 2,72

Tienden standaard e = 2,7

Tienden bij overschrijding e = 2,8

• √2 = 1.414213562…

Duizendsten standaard √2 = 1.414

Duizendsten door overschrijding √2 = 1,415

Standaard honderdsten √2 = 1,41

Honderdsten meer √2 = 1,42

Tienden standaard √2 = 1,4

Tienden bij overschrijding √2 = 1,5

• 1 ÷ 3 = 0,3333333. . . . .

Duizendsten standaard 1 ÷ 3 = 0,332

Duizendsten hoger dan 1 ÷ 3 = 0,334

Honderdsten standaard 1 ÷ 3 = 0,33

Honderdsten van meer dan 1 ÷ 3 = 0,34

Tienden standaard 1 ÷ 3 = 0,3

Tienden met meer dan 1 ÷ 3 = 0,4

Referenties

1. Problemen bij wiskundige analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universiteit van Wroclaw. Polen.
2. Inleiding tot de logica en de methodologie van de deductieve wetenschappen. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford Universiteit krant.
3. The Arithmetic Teacher, Volume 29. National Council of Teachers of Mathematics, 1981. University of Michigan.
4. Getaltheorie leren en onderwijzen: onderzoek naar cognitie en instructie / bewerkt door Stephen R. Campbell en Rina Zazkis. Ablex publiceert 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.