ANTIDERIVATIEF: FORMULES EN VERGELIJKINGEN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2024

Een primitieve F (x) van een functie f (x) wordt ook wel primitief of simpelweg de onbepaalde integraal van die functie genoemd, als in een bepaald interval I vervuld is dat F´ (x) = f (x)

Laten we bijvoorbeeld de volgende functie nemen:

f (x) = 4x ³

Een primitieve van deze functie is F (x) = x ⁴ , aangezien bij het differentiëren van F (x) met behulp van de afleidingsregel voor machten:

We krijgen precies f (x) = 4x ³ .

Dit is echter slechts een van de vele primitieve waarden van f (x), aangezien deze andere functie: G (x) = x ⁴ + 2 het ook is, want bij het differentiëren van G (x) ten opzichte van x, wordt hetzelfde verkregen terug f (x).

Laten we het bekijken:

Onthoud dat de afgeleide van een constante 0 is. Daarom kunnen we elke constante aan de term x ^{4 toevoegen} en de afgeleide blijft 4x ³ .

Geconcludeerd wordt dat elke functie van de algemene vorm F (x) = x ⁴ + C, waarbij C een reële constante is, dient als een primitief van f (x).

Het illustratieve voorbeeld hierboven kan als volgt worden uitgedrukt:

dF (x) = 4x ³ dx

De primitieve of onbepaalde integraal wordt uitgedrukt met het symbool ∫, daarom:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Waar de functie f (x) = 4x ³ de integrand wordt genoemd en C de integratieconstante is.

Voorbeelden van primitieve middelen

Figuur 1. Het primitieve is niets meer dan een onbepaalde integraal. Bron: Pixabay.

Het vinden van een primitief van een functie is in sommige gevallen eenvoudig wanneer de afgeleiden goed bekend zijn. Laat bijvoorbeeld de functie f (x) = sin x, een primitieve want het is een andere functie F (x), zodat we bij het differentiëren f (x) krijgen.

Die functie kan zijn:

F (x) = - cos x

Laten we controleren of het waar is:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Daarom kunnen we schrijven:

∫sen x dx = -cos x + C

Naast het kennen van de afgeleiden, zijn er enkele basis- en eenvoudige integratieregels om de primitieve of onbepaalde integraal te vinden.

Laat k een echte constante zijn, dan:

1. - ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2. - ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Als een functie h (x) kan worden uitgedrukt als het optellen of aftrekken van twee functies, dan is de onbepaalde integraal:

3. - ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Dit is de eigenschap van lineariteit.

De machtsregel voor integralen kan op deze manier worden vastgesteld:

Voor het geval van n = -1 wordt de volgende regel gebruikt:

5. - ∫ X ^-1 dx = ln X + C

Het is gemakkelijk aan te tonen dat de afgeleide van ln x precies x ^{-1 is} .

Differentiaalvergelijkingen

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin het onbekende wordt gevonden als een afgeleide.

Nu, uit de vorige analyse, is het gemakkelijk te realiseren dat de inverse bewerking van de afgeleide de primitieve of onbepaalde integraal is.

Laat f (x) = y´ (x), dat wil zeggen, de afgeleide van een bepaalde functie. We kunnen de volgende notatie gebruiken om deze afgeleide aan te duiden:

Hieruit volgt onmiddellijk dat:

De onbekende van de differentiaalvergelijking is de functie y (x), waarvan de afgeleide f (x) is. Om het op te lossen, is de vorige uitdrukking aan beide kanten geïntegreerd, wat overeenkomt met het toepassen van het primitieve:

De linker integraal wordt opgelost door de integratieregel 1, met k = 1, waardoor het gewenste onbekende wordt opgelost:

En aangezien C een echte constante is, moet de instructie voldoende aanvullende informatie bevatten om de waarde van C te berekenen om te weten welke in elk geval geschikt is. Dit wordt de beginvoorwaarde genoemd.

In de volgende sectie zullen we voorbeelden zien van de toepassing van dit alles.

Antiderivatieve oefeningen

- Oefening 1

Pas de integratieregels toe om de volgende primitieve of onbepaalde integralen van de gegeven functies te verkrijgen, waarbij de resultaten zoveel mogelijk worden vereenvoudigd. Het is handig om het resultaat te verifiëren door middel van afleiding.

Figuur 2. Oefeningen van primitieve of bepaalde integralen. Bron: Pixabay.

Oplossing voor

We passen eerst regel 3 toe, aangezien de integrand de som is van twee termen:

∫ (X + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Voor de eerste integraal is de machtsregel van toepassing:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

In de tweede integrale regel wordt 1 toegepast, waarbij k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

En nu worden de resultaten toegevoegd. De twee constanten zijn gegroepeerd in één, algemeen C genoemd:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2) + + C 7x

Oplossing b

Door lineariteit wordt deze integraal opgesplitst in drie eenvoudigere integralen, waarop de machtsregel zal worden toegepast:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Merk op dat een integratieconstante voor elke integraal verschijnt, maar ze ontmoeten elkaar in één oproep C.

Oplossing c

In dit geval is het handig om de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging toe te passen om de integrand te ontwikkelen. Vervolgens wordt de machtsregel gebruikt om elke integraal afzonderlijk te vinden, zoals in de vorige oefening.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

De zorgvuldige lezer zal opmerken dat de twee centrale termen vergelijkbaar zijn, daarom worden ze verminderd voordat ze worden geïntegreerd:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Oplossing e

Een manier om de integraal op te lossen zou zijn om de kracht te ontwikkelen, zoals werd gedaan in voorbeeld d. Omdat de exponent echter hoger is, zou het raadzaam zijn om de variabele te veranderen, zodat je niet zo'n lange ontwikkeling hoeft te doen.

De verandering van variabele is als volgt:

u = x + 7

Deze uitdrukking aan beide kanten afleiden:

du = dx

De integraal wordt getransformeerd naar een eenvoudiger met de nieuwe variabele, die wordt opgelost met de machtsregel:

∫ (X + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Ten slotte wordt de wijziging teruggestuurd om terug te keren naar de oorspronkelijke variabele:

∫ (X + 7) ⁵ dx = (1/6) (X + 7) ⁶ + C

- Oefening 2

Een deeltje is aanvankelijk in rust en beweegt langs de x-as. Zijn versnelling voor t> 0 wordt gegeven door de functie a (t) = cos t. Het is bekend dat op t = 0, de positie x = 3 is, alles in eenheden van het internationale systeem. Er wordt gevraagd om de snelheid v (t) en de positie x (t) van het deeltje te vinden.

Oplossing

Omdat versnelling de eerste afgeleide is van snelheid met betrekking tot tijd, hebben we de volgende differentiaalvergelijking:

een (t) = v´ (t) = cos t

Het volgt dat:

v (t) = ∫ cos t dt = zonde t + C ₁

Aan de andere kant weten we dat de snelheid op zijn beurt de afgeleide is van de positie, daarom re-integreren we:

X (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (zonde t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

De integratieconstanten worden bepaald op basis van de informatie in de verklaring. In de eerste plaats staat er dat het deeltje aanvankelijk in rust was, dus v (0) = 0:

v (0) = zonde 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Dan hebben we x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

De snelheids- en positiefuncties zijn zeker als volgt:

v (t) = zonde t

x (t) = - cos t + 4

Referenties

1. Engler, A. 2019. Integrale calculus. Nationale Universiteit van de Litoral.
2. Larson, R. 2010. Berekening van een variabele. 9e. Editie. McGraw Hill.
3. Wiskunde gratis teksten. Antiderivatieven. Hersteld van: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Antiderivatief. Hersteld van: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Onbepaalde integratie. Hersteld van: es.wikipedia.org.