WAT IS HET PRANDTL-NUMMER? (WAARDEN IN GASSEN EN VLOEISTOFFEN) - FYSIEK - 2025

Het Prandtl-getal , afgekort Pr, is een dimensieloze grootheid die de diffusiteit van het momentum relateert via de kinematische viscositeit ν (Griekse letter die wordt gelezen als 'nu') van een vloeistof, met zijn thermische diffusie α in de vorm van quotiënt:

Figuur 1. De Duitse ingenieur Ludwig Prandtl in zijn laboratorium in Hannover in 1904. Bron: Wikimedia Commons.

In termen van de vloeistofviscositeitscoëfficiënt of dynamische viscositeit μ, de soortelijke warmte van de vloeistof C _p en zijn warmtegeleidingscoëfficiënt K, wordt het Prandtl-getal ook wiskundig als volgt uitgedrukt:

Deze hoeveelheid is genoemd naar de Duitse wetenschapper Ludwig Prandtl (1875-1953), die een grote bijdrage leverde aan de vloeistofmechanica. Het Prandtl-getal is een van de belangrijke getallen voor het modelleren van de stroming van vloeistoffen en in het bijzonder de manier waarop warmte daarin wordt overgedragen door convectie.

Uit de gegeven definitie volgt dat het Prandtl-getal een kenmerk is van de vloeistof, aangezien het afhangt van zijn eigenschappen. Door deze waarde kan het vermogen van de vloeistof om momentum en warmte over te brengen, worden vergeleken.

Natuurlijke en geforceerde convectie in vloeistoffen

Warmte wordt door verschillende mechanismen via een medium overgedragen: convectie, geleiding en straling. Wanneer er beweging is op het macroscopische niveau van de vloeistof, dat wil zeggen, er is een enorme beweging van de vloeistof, wordt de warmte snel daarin overgedragen via het convectiemechanisme.

Aan de andere kant, wanneer het overheersende mechanisme geleiding is, vindt de beweging van de vloeistof plaats op microscopisch niveau, hetzij atomair of moleculair, afhankelijk van het type vloeistof, maar altijd langzamer dan door convectie.

De snelheid van de vloeistof en het stromingsregime dat het heeft - laminair of turbulent - heeft hier ook invloed op, want hoe sneller het beweegt, hoe sneller ook de warmteoverdracht is.

Convectie treedt op natuurlijke wijze op als vloeistof beweegt als gevolg van een temperatuurverschil, bijvoorbeeld wanneer een massa hete lucht stijgt en een andere koude lucht neerdaalt. In dit geval spreken we van natuurlijke convectie.

Maar convectie kan ook worden geforceerd door een ventilator te gebruiken om de lucht te laten stromen, of een pomp om het water in beweging te brengen.

Wat de vloeistof betreft, deze kan circuleren door een gesloten buis (ingesloten vloeistof), een open buis (zoals een kanaal bijvoorbeeld) of een open oppervlak.

In al deze situaties kan het Prandtl-nummer worden gebruikt om warmteoverdracht te modelleren, samen met andere belangrijke getallen in de vloeistofmechanica, zoals Reynolds-nummer, Mach-nummer, Grashoff-nummer, aantal Nusselt, de ruwheid of ruwheid van de buis en meer.

Belangrijke definities in warmteoverdracht in een vloeistof

Naast de eigenschappen van de vloeistof speelt ook de geometrie van het oppervlak een rol bij het transport van warmte, evenals het type stroming: laminair of turbulent. Aangezien het Prandtl-nummer talrijke definities omvat, volgt hier een korte samenvatting van de belangrijkste:

Dynamische viscositeit

Het is de natuurlijke weerstand van een vloeistof om te stromen, vanwege de verschillende interacties tussen de moleculen. Het wordt aangeduid met μ en de eenheden in het internationale systeem (SI) zijn Ns / m ² (newton x seconde / vierkante meter) of Pa.s (pascal x seconde), genaamd poise. Het is veel hoger in vloeistoffen dan in gassen en hangt af van de temperatuur van de vloeistof.

Kinematische viscositeit

Het wordt aangeduid als ν (Griekse letter die wordt gelezen als "nu") en wordt gedefinieerd als de verhouding tussen de dynamische viscositeit μ en de dichtheid ρ van een vloeistof:

De eenheden zijn m ² / s.

Warmtegeleiding

Het wordt gedefinieerd als het vermogen van materialen om warmte erdoorheen te geleiden. Het is een positieve grootheid en de eenheden zijn Wm / K (watt x meter / kelvin).

Specifieke hitte

Hoeveelheid warmte die moet worden toegevoegd aan 1 kilogram stof om de temperatuur met 1 ºC te verhogen.

Thermische diffusie

Is gedefinieerd als:

De eenheden voor thermische diffusie zijn dezelfde als die voor kinematische viscositeit: m ² / s.

Wiskundige beschrijving van warmteoverdracht

Er is een wiskundige vergelijking die de overdracht van warmte door de vloeistof modelleert, aangezien de eigenschappen zoals viscositeit, dichtheid en andere constant blijven:

T is de temperatuur, een functie van tijd t en van de positievector r , terwijl α de bovengenoemde thermische diffusie is en Δ de Laplaciaanse operator. In cartesiaanse coördinaten zou het er als volgt uitzien:

Rugositeit

Ruwheid en onregelmatigheden op het oppervlak waardoor de vloeistof circuleert, bijvoorbeeld aan de binnenkant van de buis waardoor het water circuleert.

Laminaire stroming

Het verwijst naar een vloeistof die in lagen stroomt, op een soepele en ordelijke manier. De lagen vermengen zich niet en de vloeistof beweegt langs zogenaamde stroomlijnen.

Figuur 2. De rookkolom heeft in het begin een laminair regime, maar dan verschijnen er voluten die duiden op een turbulent regime. Bron: Pixabay.

Turbulente stroming

In dit geval beweegt de vloeistof zich wanordelijk en vormen de deeltjes wervelingen.

Prandtl-getalwaarden in gassen en vloeistoffen

In gassen wordt de orde van grootte van zowel de kinematische viscositeit als de thermische diffusie bepaald door het product van de gemiddelde snelheid van de deeltjes en het gemiddelde vrije pad. Dit laatste is de waarde van de gemiddelde afstand die een gasmolecuul aflegt tussen twee botsingen.

Beide waarden lijken erg op elkaar, daarom ligt het aantal Prandtl Pr dicht bij 1. Bijvoorbeeld voor lucht Pr = 0,7. Dit betekent dat zowel momentum als warmte ongeveer even snel in gassen worden overgedragen.

In vloeibare metalen is Pr echter kleiner dan 1, omdat vrije elektronen warmte veel beter geleiden dan momentum. In dit geval is ν kleiner dan α en Pr <1. Een goed voorbeeld is vloeibaar natrium, dat wordt gebruikt als koelmiddel in kernreactoren.

Water is een minder efficiënte warmtegeleider, met Pr = 7, evenals viskeuze oliën, waarvan het Prandtl-getal veel hoger is, en kan oplopen tot 100.000 voor zware oliën, wat betekent dat er warmte in wordt overgedragen met erg traag, vergeleken met momentum.

Tabel 1. Orde van grootte van het Prandtl-getal voor verschillende vloeistoffen

Vloeistof	ν (m 2 / s)	α (m 2 / s)	Pr
Aardse mantel	10 17	10 -6	10 23
Binnenste lagen van de zon	10 -2	10 2	10 -4
Sfeer van de aarde	10 -5	10 -5	een
Oceaan	10 -6	10 -7	10

Voorbeeld

De thermische diffusiteit van water en lucht bij 20 ºC zijn respectievelijk 0,00142 en 0,208 cm ² / s. Zoek de Prandtl-nummers voor water en lucht.

Oplossing

De definitie die aan het begin is gegeven, is van toepassing, aangezien de instructie de waarden van α geeft:

En wat betreft de waarden van ν, ze kunnen worden gevonden in een tabel met eigenschappen van vloeistoffen, ja, we moeten oppassen dat ν in dezelfde eenheden van α is en dat ze geldig zijn bij 20 ºC:

ν _lucht = 1.51x 10 ^-5 m ² / s = 0.151 cm ² / s; ν _water = 1,02 x 10 ^-6 m ² / s = 0,0102 cm ² / s

Dus:

Pr (lucht) = 0,151 / 0,208 = 0,726; Pr (water) = 0,0102 / 0,00142 = 7,18

Referenties

1. Organische chemie. Onderwerp 3: Convectie. Hersteld van: pi-dir.com.
2. López, JM 2005. Opgeloste problemen van vloeistofmechanica. Schaum-serie. McGraw Hill.
3. Shaugnessy, E. 2005. Inleiding tot vloeistofmechanica. Oxford Universiteit krant.
4. Thorne, K. 2017. Moderne klassieke fysica. Princeton en Oxford University Press.
5. UNET. Transportverschijnselen. Hersteld van: unet.edu.ve.
6. Wikipedia. Prandtl-nummer. Hersteld van: en.wikipedia.org.
7. Wikipedia. Warmtegeleiding. Hersteld van: en.wikipedia.org.
8. Wikipedia. Viscositeit. Hersteld van: es.wikipedia.org.