HEPTADECAGON: EIGENSCHAPPEN, DIAGONALEN, OMTREK, OPPERVLAKTE - WISKUNDE - 2025

De zevenhoek is een regelmatige veelhoek met 17 zijden en 17 hoekpunten. De constructie ervan kan worden gedaan in de Euclidische stijl, dat wil zeggen door alleen de liniaal en het kompas te gebruiken. Het was het grote wiskundige genie Carl Friedrich Gauss (1777-1855), amper 18 jaar oud, die de procedure voor de constructie vond in 1796.

Blijkbaar was Gauss altijd erg geneigd tot deze geometrische figuur, in die mate dat hij vanaf de dag dat hij de constructie ontdekte, besloot wiskundige te worden. Er wordt ook gezegd dat hij wilde dat de zevenhoek op zijn grafsteen werd gegraveerd.

Figuur 1. De zevenhoek is een regelmatige veelhoek met 17 zijden en 17 hoekpunten. Bron: F. Zapata.

Gauss vond ook de formule om te bepalen welke regelmatige polygonen de mogelijkheid hebben om te worden geconstrueerd met liniaal en kompas, aangezien sommige geen exacte Euclidische constructie hebben.

Kenmerken van de zevenhoek

Wat betreft zijn kenmerken, zoals elke veelhoek, is de som van zijn interne hoeken belangrijk. In een regelmatige veelhoek met n zijden wordt de som gegeven door:

Deze som, uitgedrukt in radialen, ziet er als volgt uit:

Uit de bovenstaande formules kan gemakkelijk worden afgeleid dat elke interne hoek van een heptadecagon een exacte maat α heeft, gegeven door:

Hieruit volgt dat de interne hoek ruwweg is:

Diagonalen en omtrek

Diagonalen en omtrek zijn andere belangrijke aspecten. In elke veelhoek is het aantal diagonalen:

D = n (n - 3) / 2 en in het geval van de zevenhoek, als n = 17, hebben we dan die D = 119 diagonalen.

Aan de andere kant, als de lengte van elke zijde van de zevenhoek bekend is, dan wordt de omtrek van de regelmatige zevenhoek eenvoudig gevonden door 17 keer die lengte toe te voegen, of wat overeenkomt met 17 keer de lengte d van elke zijde:

P = 17 dagen

Omtrek van de zevenhoek

Soms is alleen de straal r van het heptadecagon bekend, dus het is nodig om voor dit geval een formule te ontwikkelen.

Daartoe wordt het concept van apothema geïntroduceerd. De apothema is het segment dat van het midden van de regelmatige veelhoek naar het midden van één zijde gaat. De apothema ten opzichte van één zijde staat loodrecht op die zijde (zie figuur 2).

Figuur 2. De delen van een regelmatige veelhoek met straal r en zijn apothema worden getoond. (Eigen uitwerking)

Bovendien is de apothema een middelloodlijn van de hoek met centrale top en zijkanten op twee opeenvolgende hoekpunten van de polygoon, dit stelt ons in staat om een ​​relatie te vinden tussen de straal r en de zijde d.

Als de centrale hoek DOE β wordt genoemd en rekening houdend met het feit dat de apothema OJ een middelloodlijn is, hebben we EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), waaruit we een relatie hebben om de lengte d van de zijde van een veelhoek te vinden bekend zijn straal r en zijn centrale hoek β:

d = 2 r Sen (β / 2)

In het geval van het zevenhoek β = 360º / 17, hebben we:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Ten slotte wordt de formule voor de omtrek van de zevenhoek verkregen, de straal bekend:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

De omtrek van een zevenhoek ligt dicht bij de omtrek van de omtrek die hem omringt, maar de waarde is kleiner, dat wil zeggen, de omtrek van de omgeschreven cirkel is Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

Oppervlakte

Om de oppervlakte van de zevenhoek te bepalen, verwijzen we naar figuur 2, die de zijkanten en apothema toont van een regelmatige veelhoek met n zijden. In deze figuur heeft de driehoek EOD een oppervlakte gelijk aan de basis d (zijde van de veelhoek) maal de hoogte a (apothema van de veelhoek) gedeeld door 2:

EOD-gebied = (dxa) / 2

Dus als we de apothema a van het zevenhoek kennen en de zijde d ervan, is het gebied:

Heptadecagon gebied = (17/2) (dxa)

Gebied gezien de zijkant

Om een ​​formule te krijgen voor de oppervlakte van de zevenhoek die de lengte van zijn zeventien zijden kent, is het nodig om een ​​verband te krijgen tussen de lengte van de apothema a en de zijde d.

Met verwijzing naar figuur 2 wordt de volgende trigonometrische relatie verkregen:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, waarbij β de centrale hoek DOE is. Het apothema a kan dus worden berekend als de lengte d van de zijkant van de veelhoek en de centrale hoek β bekend zijn:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Als deze uitdrukking nu wordt vervangen door het apothema, hebben we in de formule voor het gebied van de zevenhoek verkregen in de vorige sectie:

Heptadecagon gebied = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Omdat β = 360º / 17 voor de zevenhoek is, hebben we eindelijk de gewenste formule:

Heptadecagon-gebied = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Oppervlakte gezien de straal

In de voorgaande paragrafen is een verband gevonden tussen de zijde d van een regelmatige veelhoek en zijn straal r, dit verband is de volgende:

d = 2 r Sen (β / 2)

Deze uitdrukking voor d wordt ingevoegd in de uitdrukking die in de vorige sectie voor het gebied is verkregen. Als de relevante vervangingen en vereenvoudigingen zijn aangebracht, wordt de formule verkregen waarmee de oppervlakte van de zevenhoek kan worden berekend:

Heptadecagon oppervlakte = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Een geschatte uitdrukking voor het gebied is:

Heptadecagon gebied = 3.0706 (r ² )

Zoals verwacht is dit gebied iets kleiner dan het gebied van de cirkel rond de zevenhoek A _circ = π r ² ≈ 3.1416 r ² . Om precies te zijn, het is 2% minder dan dat van zijn omgeschreven cirkel.

Voorbeelden

voorbeeld 1

Om de vraag te beantwoorden, is het noodzakelijk om de relatie tussen de zijkant en de straal van een regelmatige n-zijdige veelhoek te onthouden:

d = 2 r Sen (180º / n)

Voor de zevenhoek n = 17, dus d = 0,3675 r, dat wil zeggen, de straal van de zevenhoek is r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm of

10,8844 cm in doorsnee.

De omtrek van een zij zevenhoek van 2 cm is P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Voorbeeld 2

We moeten verwijzen naar de formule die in de vorige sectie wordt getoond, waarmee we de oppervlakte van een zevenhoek kunnen vinden als deze de lengte d van zijn zijde heeft:

Heptadecagon-gebied = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Door d = 2 cm in de vorige formule te vervangen, krijgen we:

Gebied = 90,94 cm

Referenties

1. CEA (2003). Geometrie-elementen: met oefeningen en kompasgeometrie. Universiteit van Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Wiskunde 2. Grupo Redactie Patria.
3. Freed, K. (2007). Ontdek Polygonen. Benchmark Onderwijsbedrijf.
4. Hendrik, V. (2013). Gegeneraliseerde polygonen. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Wiskunde eerste semester Tacaná. IGER.
6. Jr. geometrie. (2014). Polygonen. Van Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren en Hornsby. (2006). Wiskunde: redeneren en toepassingen (tiende editie). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Wiskunde 5. Redactioneel Progreso.
9. Sada, M. 17-zijdige regelmatige veelhoek met liniaal en kompas. Hersteld van: geogebra.org
10. Wikipedia. Zevenhoek. Hersteld van: es.wikipedia.com