- Definitie en eigenschappen
- Exponentiële functie
- Eigenschappen van de exponentiële functie
- Logaritmische functie
- Eigenschappen van de logaritmefunctie
- Sinus-, cosinus- en tangensfuncties
- Afgeleide producten en integralen
- Afgeleide van de exponentiële functie
- Integraal van de exponentiële functie
- Tabel met afgeleiden en integralen van transcendente functies
- Voorbeelden
- voorbeeld 1
- Voorbeeld 2
- Referenties
De elementaire transcendentale functies zijn de exponentiële, logaritmische, trigonometrische, inverse trigonometrische functies, hyperbolische en inverse hyperbolische functies. Dat wil zeggen, het zijn degenen die niet kunnen worden uitgedrukt door middel van een polynoom, een quotiënt van veeltermen of wortels van veeltermen.
De niet-elementaire transcendente functies staan ook bekend als speciale functies en onder hen kan de foutfunctie worden genoemd. De algebraïsche functies (polynomen, quotiënten van polynomen en wortels van polynomen) vormen samen met de elementaire transcendentale functies wat in de wiskunde bekend staat als elementaire functies.
Transcendente functies worden ook beschouwd als functies die het resultaat zijn van bewerkingen tussen transcendente functies of tussen transcendente en algebraïsche functies. Deze bewerkingen zijn: de som en het verschil van functies, product en quotiënt van functies, evenals de samenstelling van twee of meer functies.
Definitie en eigenschappen
Exponentiële functie
Het is een echte functie van een echte onafhankelijke variabele van de vorm:
f (x) = a ^ x = een x
waarbij a een vast positief reëel getal is (a> 0) dat de basis wordt genoemd. De circumflex of superscript wordt gebruikt om de potentiërende operatie aan te duiden.
Laten we zeggen a = 2 dan ziet de functie er als volgt uit:
f (x) = 2 ^ x = 2 x
Die zal worden geëvalueerd voor verschillende waarden van de onafhankelijke variabele x:
Hieronder ziet u een grafiek waarin de exponentiële functie wordt weergegeven voor verschillende waarden van de basis, inclusief de basis e (Neper-getal e ≃ 2,72). De grondtal e is zo belangrijk dat we in het algemeen bij een exponentiële functie denken aan e ^ x, dat ook wel exp (x) wordt genoemd.
Figuur 1. Exponentiële functie a ^ x, voor verschillende waarden van de basis a. (Eigen uitwerking)
Eigenschappen van de exponentiële functie
Uit figuur 1 kan worden opgemaakt dat het domein van de exponentiële functies de reële getallen zijn (Dom f = R ) en het bereik of pad de positieve reële getallen (Ran f = R + ).
Aan de andere kant, ongeacht de waarde van de basis a, gaan alle exponentiële functies door het punt (0, 1) en door het punt (1, a).
Als de basis a> 1, dan neemt de functie toe en als 0 <a <1 neemt de functie af.
De krommen van y = a ^ x en y = (1 / a) ^ x zijn symmetrisch rond de Y-as.
Met uitzondering van het geval a = 1, is de exponentiële functie injectief, dat wil zeggen dat elke waarde van het beeld overeenkomt met één en slechts één startwaarde.
Logaritmische functie
Het is een echte functie van een echte onafhankelijke variabele op basis van de definitie van de logaritme van een getal. De logaritme gebaseerd op een getal x is het getal y waarnaar de grondtal moet worden verhoogd om het argument x te krijgen:
log een (x) = y ⇔ een ^ y = x
Dat wil zeggen, de logaritmefunctie gebaseerd op is de inverse functie van de exponentiële functie gebaseerd op.
Bijvoorbeeld:
log 2 1 = 0, aangezien 2 ^ 0 = 1
Een ander geval, log 2 4 = 2, omdat 2 ^ 2 = 4
De wortellogaritme van 2 is log 2 √2 = ½, omdat 2 ^ ½ = √2
log 2 ¼ = -2, aangezien 2 ^ (- 2) = ¼
Hieronder ziet u een grafiek van de logaritmefunctie in verschillende bases.
Figuur 2. Exponentiële functie voor verschillende waarden van de basis. (Eigen uitwerking)
Eigenschappen van de logaritmefunctie
Het domein van de logaritmefunctie y (x) = log a (x) zijn de positieve reële getallen R + . De reis-range of reële getallen R .
Ongeacht de basis, de logaritmefunctie gaat altijd door het punt (1,0) en het punt (a, 1) behoort tot de grafiek van die functie.
In het geval dat het grondtal a groter is dan eenheid (a> 1), neemt de logaritmefunctie toe. Maar als (0 <a <1) dan is het een afnemende functie.
Sinus-, cosinus- en tangensfuncties
De sinusfunctie kent een reëel getal en aan elke x-waarde toe, waarbij x de maat van een hoek in radialen vertegenwoordigt. Om de waarde van de Sen (x) van een hoek te verkrijgen, wordt de hoek weergegeven in de eenheidscirkel en is de projectie van die hoek op de verticale as de sinus die overeenkomt met die hoek.
De trigonometrische cirkel en sinus voor verschillende hoekwaarden X1, X2, X3 en X4 worden hieronder weergegeven (in afbeelding 3).
Figuur 3. Goniometrische cirkel en de sinus van verschillende hoeken. (Eigen uitwerking)
Op deze manier gedefinieerd, is de maximale waarde die de functie Sen (x) kan hebben 1, wat optreedt als x = π / 2 + 2π n, waarbij n een geheel getal is (0, ± 1, ± 2,). De minimumwaarde die de functie Sen (x) kan aannemen, treedt op als x = 3π / 2 + 2π n.
De cosinusfunctie y = Cos (x) wordt op een vergelijkbare manier gedefinieerd, maar de projectie van de hoekposities P1, P2, enz. Wordt uitgevoerd op de horizontale as van de trigonometrische cirkel.
Aan de andere kant is de functie y = Tan (x) het quotiënt tussen de sinusfunctie en de cosinusfunctie.
Hieronder ziet u een grafiek van de transcendente functies Sen (x), Cos (x) en Tan (x)
Figuur 4. Grafiek van de transcendente functies, sinus, cosinus en tangens. (Eigen uitwerking)
Afgeleide producten en integralen
Afgeleide van de exponentiële functie
De afgeleide y 'van de exponentiële functie y = a ^ x is de functie a ^ x vermenigvuldigd met de natuurlijke logaritme van de basis a:
y '= (a ^ x)' = a ^ x ln een
In het specifieke geval van de grondtal e is de afgeleide van de exponentiële functie de exponentiële functie zelf.
Integraal van de exponentiële functie
De onbepaalde integraal van a ^ x is de functie zelf gedeeld door de natuurlijke logaritme van de basis.
In het specifieke geval van de grondtal e is de integraal van de exponentiële functie de exponentiële functie zelf.
Tabel met afgeleiden en integralen van transcendente functies
Hieronder vindt u een samenvattende tabel van de belangrijkste transcendente functies, hun afgeleiden en onbepaalde integralen (primitieven):
Tabel met afgeleiden en onbepaalde integralen voor enkele transcendente functies. (Eigen uitwerking)
Voorbeelden
voorbeeld 1
Zoek de functie die resulteert uit de samenstelling van de functie f (x) = x ^ 3 met de functie g (x) = cos (x):
(mist) (x) = f (g (x)) = cos 3 (x)
Zijn afgeleide en zijn onbepaalde integraal is:
Voorbeeld 2
Zoek de samenstelling van de functie g met de functie f, waarbij g en f de functies zijn die in het vorige voorbeeld zijn gedefinieerd:
(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x 3 )
Opgemerkt moet worden dat de samenstelling van functies geen commutatieve bewerking is.
De afgeleide en de onbepaalde integraal voor deze functie zijn respectievelijk:
De integraal bleef aangegeven omdat het niet mogelijk is om het resultaat exact te schrijven als een combinatie van elementaire functies.
Referenties
- Calculus van een enkele variabele. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 november 2008
- De impliciete functiestelling: geschiedenis, theorie en toepassingen. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 november. 2012
- Multivariabele analyse. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 december. 2010
- Systeemdynamiek: modellering, simulatie en besturing van mechatronische systemen. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 maart 2012
- Calculus: wiskunde en modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 januari 1999
- wikipedia. Transcendente functie. Hersteld van: es.wikipedia.com