VECTOR: KENMERKEN EN EIGENSCHAPPEN, ELEMENTEN, TYPEN, VOORBEELDEN - WETENSCHAP - 2025

De vectoren zijn wiskundige entiteiten die over het algemeen vergezeld gaan van een meeteenheid -positiva- grootte en richtingbron. Dergelijke kenmerken zijn zeer geschikt om fysieke grootheden te beschrijven, zoals snelheid, kracht, versnelling en nog veel meer.

Met vectoren is het mogelijk om bewerkingen uit te voeren zoals optellen, aftrekken en producten. Divisie is niet gedefinieerd voor vectoren en wat het product betreft, zijn er drie klassen die we later zullen beschrijven: puntproduct of punt, vectorproduct of kruis en product van een scalair door een vector.

Figuur 1. De elementen van een vector. Bron: Wikimedia Commons.

Om een ​​vector volledig te beschrijven, moeten al zijn kenmerken worden aangegeven. De magnitude of module is een numerieke waarde vergezeld van een eenheid, terwijl de richting en het gevoel worden bepaald met behulp van een coördinatensysteem.

Laten we naar een voorbeeld kijken: stel dat een vliegtuig van de ene stad naar de andere vliegt met een snelheid van 850 km / u in NO-richting. Hier hebben we een volledig gespecificeerde vector, aangezien de magnitude beschikbaar is: 850 km / u, terwijl de richting en het gevoel NE zijn.

Vectoren worden meestal grafisch weergegeven door georiënteerde lijnsegmenten, waarvan de lengte evenredig is met de grootte.

Om de richting en de richting te specificeren, is een referentielijn vereist, meestal de horizontale as, hoewel het noorden ook als referentie kan worden genomen, zoals het geval is bij de snelheid van het vlak:

Figuur 2. Een snelheidsvector. Bron: F. Zapata.

De figuur toont de snelheidsvector van het vliegtuig, aangegeven met v in vetgedrukte letters , om deze te onderscheiden van een scalaire grootheid, waarvoor alleen een numerieke waarde en een eenheid nodig is.

Elementen van een vector

Zoals we al zeiden, zijn de elementen van de vector:

-Magnitude of module, ook wel absolute waarde of norm van de vector genoemd.

-Adres

-Zin

In het voorbeeld in figuur 2 is de modulus van v 850 km / u. De modulus wordt aangegeven als v zonder vetgedrukt, of als - v -, waarbij de balken de absolute waarde vertegenwoordigen.

De richting van v wordt gespecificeerd ten opzichte van het noorden. In dit geval is het 45º Noord van Oost (45º NO). Ten slotte informeert de punt van de pijl over de betekenis van v .

In dit voorbeeld is de oorsprong van de vector getekend die samenvalt met de oorsprong O van het coördinatensysteem, dit staat bekend als een gekoppelde vector. Aan de andere kant, als de oorsprong van de vector niet samenvalt met die van het referentiesysteem, wordt er gezegd dat het een vrije vector is.

Opgemerkt moet worden dat om de vector volledig te specificeren, deze drie elementen moeten worden genoteerd, anders zou de beschrijving van de vector onvolledig zijn.

Rechthoekige componenten van een vector

Figuur 3. Rechthoekige componenten van een vector in het vlak. Bron: Wikimedia Commons. uranther

In de afbeelding hebben we onze voorbeeldvector v terug , die zich in het xy-vlak bevindt.

Het is gemakkelijk in te zien dat de projecties van v op de x- en y-coördinaatassen een rechthoekige driehoek bepalen. Deze projecties zijn v _{y en} v _x en worden rechthoekige componenten van v genoemd .

Een manier om v aan te duiden met zijn rechthoekige componenten is als volgt: v =x, v _en >. Deze haakjes worden gebruikt in plaats van haakjes om te benadrukken dat het een vector is en geen punt, aangezien in dit geval haakjes zouden worden gebruikt.

Als de vector zich in een driedimensionale ruimte bevindt, is er nog een component nodig, zodat:

v =x, v _y , v _z >

Het kennen van de rechthoekige componenten van de grootte van de vector berekend, gelijk aan het vinden van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek waarvan de benen v _x en v _{en ,.} Door middel van de stelling van Pythagoras volgt het volgende:

Polaire vorm van een vector

Als de grootte van de vector - v - en de hoek θ die hij maakt met de referentieas, doorgaans de horizontale as, bekend zijn, wordt de vector ook gespecificeerd. De vector wordt dan uitgedrukt in polaire vorm.

De rechthoekige componenten zijn in dit geval eenvoudig te berekenen:

Volgens het bovenstaande zouden de rechthoekige componenten van de snelheidsvector v van het vlak zijn:

Soorten

Er zijn verschillende soorten vectoren. Er zijn vectoren van snelheid, positie, verplaatsing, kracht, elektrisch veld, momentum en nog veel meer. Zoals we al zeiden, zijn er in de natuurkunde een groot aantal vectorgrootheden.

Met betrekking tot vectoren die bepaalde kenmerken hebben, kunnen we de volgende soorten vectoren noemen:

-Null : dit zijn vectoren waarvan de grootte 0 is en die worden aangeduid als 0. Onthoud dat de vetgedrukte letter de drie fundamentele kenmerken van een vector symboliseert, terwijl de normale letter alleen de module vertegenwoordigt.

Op een lichaam in statisch evenwicht moet de som van de krachten bijvoorbeeld een nulvector zijn.

- Vrij en gekoppeld : vrije vectoren zijn vectoren waarvan de punten van oorsprong en aankomst elk paar punten in het vlak of de ruimte zijn, in tegenstelling tot gekoppelde vectoren, waarvan de oorsprong samenvalt met die van het referentiesysteem dat wordt gebruikt om ze te beschrijven.

Het paar of moment geproduceerd door een paar krachten is een goed voorbeeld van een vrije vector, aangezien het paar niet van toepassing is op een bepaald punt.

- Equipolentes : het zijn twee vrije vectoren met identieke kenmerken. Daarom hebben ze gelijke grootte, richting en gevoel.

- Coplanair of coplanair : vectoren die tot hetzelfde vlak behoren.

- Tegengestelden : vectoren met dezelfde grootte en richting, maar tegengestelde richtingen. De vector tegenover een vector v is de vector - v en de som van beide is de nulvector: v + (- v ) = 0 .

- Concurrent : vectoren waarvan de actielijnen allemaal door hetzelfde punt gaan.

- Schuifregelaars : zijn die vectoren waarvan het toepassingspunt langs een bepaalde lijn kan schuiven.

- Collineair : vectoren die zich op dezelfde lijn bevinden.

- Unitair : die vectoren waarvan de module 1 is.

Orthogonale eenheidsvectoren

Er is een zeer bruikbaar type vector in de natuurkunde dat een orthogonale eenheidsvector wordt genoemd. De orthogonale eenheidsvector heeft een module gelijk aan 1 en de eenheden kunnen elk zijn, bijvoorbeeld snelheid, positie, kracht of andere.

Er is een reeks speciale vectoren die helpen om andere vectoren gemakkelijk weer te geven en er bewerkingen mee uit te voeren: het zijn de orthogonale eenheidsvectoren i , j en k , eenheid en loodrecht op elkaar.

In twee dimensies zijn deze vectoren gericht langs de positieve richting van zowel de x-as als de y-as. En in drie dimensies wordt een eenheidsvector toegevoegd in de richting van de positieve z-as. Ze worden als volgt weergegeven:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Een vector kan als volgt worden weergegeven door de eenheidsvectoren i , j en k :

v = v _X ik + v _Y j + v _z k

De snelheidsvector v in de vorige voorbeelden kan bijvoorbeeld worden geschreven als:

v = 601,04 i + 601,04 j km / uur

De component in k is niet nodig, aangezien deze vector in het vlak ligt.

Vector toevoeging

De som van vectoren komt zeer vaak voor in verschillende situaties, bijvoorbeeld wanneer u de resulterende kracht op een object wilt vinden dat wordt beïnvloed door verschillende krachten. Stel dat we om te beginnen twee vrije vectoren u en v in het vlak hebben, zoals weergegeven in de volgende afbeelding aan de linkerkant:

Figuur 4. Grafische som van twee vectoren. Bron: Wikimedia Commons. Lluc Cabanach.

Het wordt onmiddellijk zorgvuldig overgebracht naar de vector v , zonder de grootte, richting of betekenis ervan te wijzigen, zodat zijn oorsprong samenvalt met het einde van u .

De vectorsom wordt w genoemd en wordt volgens de rechter figuur getekend beginnend bij u en eindigend op v . Het is belangrijk op te merken dat de grootte van de vector w niet noodzakelijk de som is van de grootte van v en u .

Als je er goed over nadenkt, is de enige keer dat de grootte van de resulterende vector de som is van de magnitudes van de addends, wanneer beide addends in dezelfde richting zijn en dezelfde betekenis hebben.

En wat gebeurt er als de vectoren niet gratis zijn? Het is ook heel gemakkelijk om ze toe te voegen. De manier om dit te doen is door een component aan een component of analytische methode toe te voegen.

Laten we als voorbeeld de vectoren in de volgende afbeelding bekijken, het eerste is om ze uit te drukken op een van de Cartesiaanse manieren die eerder zijn uitgelegd:

Figuur 5. Som van twee gekoppelde vectoren. Bron: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

Om de x-component van de somvector w te verkrijgen , tel je de respectievelijke x-componenten van v en u op : w _x = 5 + 2 = 7. En de afgifte w _y analoge procedure gevolgd: w _y = 1 + 3. Dus:

u = <7,4>

Eigenschappen van vectoroptelling

-De som van twee of meer vectoren resulteert in een andere vector.

-Het is commutatief, de volgorde van de bijvoegsels verandert de som niet, zodanig dat:

u + v = v + u

- Het neutrale element van de som van vectoren is de nulvector: v + 0 = v

- Het aftrekken van twee vectoren wordt gedefinieerd als de som van het tegenovergestelde: v - u = v + (-u)

Vector voorbeelden

Zoals we al zeiden, zijn er talloze vectorgrootheden in de natuurkunde. Tot de bekendste behoren:

-Positie

-Verplaatsing

-Gemiddelde snelheid en onmiddellijke snelheid

-Versnelling

-Dwingen

- Hoeveelheid beweging

-Koppel of moment van een kracht

-Impuls

-Elektrisch veld

-Magnetisch veld

-Magnetisch moment

Aan de andere kant zijn het geen vectoren maar scalairen:

-Weer

-Massa

-Temperatuur

-Volume

-Dichtheid

-Mechanisch werk

-Energie

-Heet

-Vermogen

-Spanning

-Elektrische stroom

Andere bewerkingen tussen vectoren

Naast het optellen en aftrekken van vectoren zijn er drie andere zeer belangrijke bewerkingen tussen vectoren, omdat ze aanleiding geven tot nieuwe zeer belangrijke fysieke grootheden:

-Product van een scalair door een vector.

-Het puntproduct of puntproduct tussen vectoren

-En het kruis- of vectorproduct tussen twee vectoren.

Product van een scalair en een vector

Beschouw de tweede wet van Newton, die stelt dat de kracht F en de versnelling a proportioneel zijn. De evenredigheidsconstante is de massa m van het object, daarom:

F = m. naar

Massa is een scalair; van hun kant zijn kracht en versnelling vectoren. Omdat kracht wordt verkregen door massa te vermenigvuldigen met versnelling, is het het resultaat van het product van een scalair en een vector.

Dit type product resulteert altijd in een vector. Hier is nog een voorbeeld: de hoeveelheid beweging. Laat P de momentumvector zijn, v de snelheidsvector, en zoals altijd is m de massa:

P = m. v

Puntproduct of puntproduct tussen vectoren

We hebben mechanisch werk op de lijst met grootheden geplaatst die geen vectoren zijn. Werk in de natuurkunde is echter het resultaat van een bewerking tussen vectoren die scalair product, inproduct of puntproduct worden genoemd.

Laat de vectoren v en u , de punt of het scalaire product ertussen definiëren als:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Waar θ de hoek tussen de twee is. Uit de weergegeven vergelijking volgt onmiddellijk dat het resultaat van het puntproduct een scalair is en ook dat als beide vectoren loodrecht staan, hun puntproduct 0 is.

Terug naar mechanisch werk W, dit is het scalaire product tussen de krachtvector F en de verplaatsingsvector ℓ .

Wanneer vectoren beschikbaar zijn in termen van hun componenten, is het puntproduct ook heel gemakkelijk te berekenen. Als v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, het puntproduct tussen de twee is:

v ∙ u = v _X u _X + v _Y u _Y + v _z u _z

Het puntproduct tussen vectoren is commutatief, daarom:

v ∙ u = u ∙ v

Cross product of vector product tussen vectoren

Als v en u onze twee voorbeeldvectoren zijn, definiëren we het vectorproduct als:

v x u = w

Hieruit volgt onmiddellijk dat het kruisproduct resulteert in een vector waarvan de modulus wordt gedefinieerd als:

Waar θ de hoek tussen de vectoren is.

Het kruisproduct is niet commutatief, dus v x u ≠ u x v. In feite v x u = - (u x v).

Als de twee voorbeeldvectoren worden uitgedrukt in termen van eenheidsvectoren, wordt de berekening van het vectorproduct vergemakkelijkt:

v = v _X ik + v _Y j + v _z k

u = u _X ik + u _Y j + u _z k

Kruis producten tussen eenheidsvectoren

Het kruisproduct tussen identieke eenheidsvectoren is nul, aangezien de hoek ertussen 0º is. Maar tussen verschillende eenheidsvectoren is de hoek tussen hen 90º en sin 90º = 1.

Het volgende diagram helpt om deze producten te vinden. In de richting van de pijl heeft het een positieve richting en in de tegenovergestelde richting negatief:

ik X j = k, j X k = ik; k x ik = j; j x ik = -k; k x j = -i; ik x k = -j

Als we de distributieve eigenschap toepassen, die nog steeds geldig is voor de producten tussen vectoren plus de eigenschappen van eenheidsvectoren, hebben we:

v X u = (v _X ik + v _Y j + v _z k ) X (u _X ik + u _Y j + u _z k ) =

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Gezien de vectoren:

v = -5 ik + 4 j + 1 k

u = 2 ik -3 j + 7 k

Wat moet de vector w zijn om de som v + u + w 6 i + 8 j -10 k te laten zijn ?

Oplossing

Daarom moet worden voldaan aan het volgende:

Het antwoord is: w = 9 i +7 j - 18 k

- Oefening 2

Wat is de hoek tussen de vectoren v en u in oefening 1?

Oplossing

We zullen het puntproduct gebruiken. Uit de definitie hebben we:

v ∙ u = -10-12 + 7 = -15

Deze waarden vervangen:

Referenties

1. Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 1. Kinematica. Bewerkt door Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fysica: principes met toepassingen. 6e. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Universitaire natuurkunde met moderne natuurkunde. 14e. Ed. Deel 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics for Science and Engineering. Deel 1. 7e. Ed. Cengage Learning.