SCALENE TRAPEZIUM: EIGENSCHAPPEN, FORMULES EN VERGELIJKINGEN, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2024

Een scalene trapezium is een veelhoek met vier zijden, waarvan er twee evenwijdig aan elkaar zijn, en met zijn vier binnenhoeken van verschillende afmetingen.

De vierhoek ABCD wordt hieronder getoond, waarbij zijden AB en DC evenwijdig aan elkaar zijn. Dit is voldoende om een ​​trapezium te zijn, maar ook de binnenhoeken α, β, γ en δ zijn allemaal verschillend, daarom is de trapezoïde ongelijk.

Figuur 1. Vierhoek ABCD is trapeziumvormig volgens conditie 1 en scalenus volgens conditie 2. Bron: F. Zapata.

Elementen van het scalene trapezium

Hier zijn de meest karakteristieke elementen:

-Bases en zijkanten: de parallelle zijden van de trapezium zijn de bases en de twee niet-parallelle zijden zijn de zijkanten.

In een schubben trapezium hebben de bases verschillende lengtes en ook de laterale. Een scalene trapezium kan echter een laterale lengte hebben die even lang is als een basis.

-Median: is het segment dat samenkomt met de middelpunten van de laterale.

-Diagonalen: de diagonaal van een trapezium is het segment dat twee tegenoverliggende hoekpunten verbindt. Een trapezium heeft, zoals elke vierhoek, twee diagonalen. In de scalene trapezium zijn ze van verschillende lengte.

Andere trapezoïden

Naast de scalene trapezoïde zijn er nog andere specifieke trapezoïden: de rechter trapezoïde en de gelijkbenige trapezoïde.

Een trapezium is een rechthoek wanneer een van de hoeken goed is, terwijl een gelijkbenige trapezium zijn zijden van gelijke lengte heeft.

De trapeziumvorm kent tal van toepassingen op ontwerp- en industrieniveau, zoals bij de configuratie van vliegtuigvleugels, de vorm van alledaagse voorwerpen zoals tafels, rugleuningen, verpakkingen, portemonnees, textielprints en meer.

Figuur 2. De trapeziumvorm is gebruikelijk in de vleugelconfiguratie van vliegtuigen. Bron: Wikimedia Commons.

Eigendommen

De eigenschappen van de scalene trapezoïde worden hieronder vermeld, waarvan er vele zich uitstrekken tot de andere soorten trapeziums. In wat volgt, als er over "trapezium" wordt gesproken, is de eigenschap van toepassing op elk type, inclusief schaal.

1. De mediaan van de trapezium, dat wil zeggen het segment dat de middelpunten van de niet-parallelle zijden met elkaar verbindt, is evenwijdig aan een van de bases.

2.- De mediaan van een trapezium heeft een lengte die gelijk is aan die van de basis en snijdt de diagonalen in het midden.

3.- De diagonalen van een trapezium snijden elkaar op een punt dat ze in twee delen verdeelt die evenredig zijn met de quotiënten van de bases.

4.- De som van de vierkanten van de diagonalen van een trapezium is gelijk aan de som van de vierkanten van de zijkanten plus het dubbele product van de bases.

5.- Het segment dat de middelpunten van de diagonalen verbindt, heeft een lengte die gelijk is aan het halve verschil van de bases.

6.- De hoeken naast de laterale zijn aanvullend.

7.- In een scalene trapezium zijn de lengtes van de diagonalen verschillend.

8.- Een trapezium heeft alleen een ingeschreven omtrek als de som van zijn bases gelijk is aan de som van zijn zijden.

9.- Als een trapezium een ​​ingeschreven omtrek heeft, dan is de hoek met de top in het midden van die omtrek en de zijden die door de uiteinden van de zijkant van de trapezium gaan recht.

10.- Een scalene trapezium heeft geen omgeschreven omtrek, het enige type trapezium dat dat wel doet is gelijkbenig.

Formules en vergelijkingen

De volgende relaties van de scalene trapezoïde worden verwezen naar de volgende afbeelding.

1. - Als AE = ED en BF = FC → EF - AB en EF - DC.

2. - EF = (AB + DC) / 2 dat wil zeggen: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 en AG = GC = d ₂ /2.

4. - DJ / JB = (c / a) op dezelfde manier CJ / JA = (c / a).

Figuur 3. Mediaan en diagonalen van een scalene trapezium. Bron: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Equivalent:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 een ∙ c

6. - GI = (AB - DC) / 2

Het is te zeggen:

n = (a - c) / 2

7. - α + δ = 180⁰ en β + γ = 180⁰

8.- Als α ≠ β ≠ γ ≠ δ dan d1 ≠ d2.

9. - Figuur 4 toont een trapezium van een schaal met een ingeschreven omtrek, in dit geval is het waar dat:

een + c = d + b

10.- In een scalene trapezoïde ABCD met een ingeschreven omtrek van middelpunt O, is het volgende ook waar:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Figuur 4. Als in een trapezium wordt geverifieerd dat de som van zijn bases gelijk is aan de som van de laterale, dan is er de omtrek erin ingeschreven. Bron: F. Zapata.

Hoogte

De hoogte van een trapezium wordt gedefinieerd als het segment dat van een punt op de basis loodrecht naar de tegenoverliggende basis (of zijn verlenging) gaat.

Alle hoogtes van de trapezium hebben dezelfde afmeting h, dus meestal verwijst het woord hoogte naar de afmeting. Kortom, hoogte is de afstand of scheiding tussen de bases.

De hoogte h kan worden bepaald door de lengte van één zijde en een van de hoeken naast de zijkant te kennen:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Mediaan

De maat m van de mediaan van de trapezium is de halve som van de basen:

m = (a + b) / 2

Diagonalen

d ₁ = √

d ₂ = √

Het kan ook worden berekend als alleen de lengte van de zijkanten van de trapezium bekend is:

d ₁ = √

d ₂ = √

Omtrek

De omtrek is de totale lengte van de contour, dat wil zeggen de som van al zijn zijden:

P = een + b + c + d

Oppervlakte

Het oppervlak van een trapezium is het semisum van zijn bases vermenigvuldigd met zijn hoogte:

A = h ∙ (a + b) / 2

Ook kan worden berekend of de mediaan m bekend is en de hoogte h:

A = m ∙ h

Als alleen de lengte van de zijkanten van de trapezium bekend is, kan het gebied worden bepaald met behulp van de formule van Heron voor de trapezium:

A = ∙ √

Waar s de semiperimeter is: s = (a + b + c + d) / 2.

Andere verhoudingen voor het scalene trapezium

Het snijpunt van de mediaan met de diagonalen en de parallel die door het snijpunt van de diagonalen loopt, geeft aanleiding tot andere relaties.

Figuur 5. Andere relaties voor het scalene trapezium. Bron: F. Zapata.

-Relaties voor de mediane EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Relaties voor het segment parallel aan de bases KL, en passerend door het snijpunt J van de diagonalen

Als KL - AB - DC met J ∈ KL, dan is KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Constructie van de scalene trapezium met liniaal en kompas

Gegeven de basis van lengtes a en c, waarbij a> cy met zijden van lengtes b en d, waar b> d, ga als volgt te werk (zie figuur 6):

1.- Met de regel wordt het segment van de grote AB getekend.

2.- Markeer vanuit A se en op AB punt P zodat AP = c.

3.- Met het kompas met middelpunt in P en straal d wordt een boog getekend.

4.- Er wordt een middelpunt gemaakt bij B met straal b, waarbij een boog wordt getekend die de boog die in de vorige stap is getekend, onderschept. We noemen Q het snijpunt.

Figuur 6. Constructie van een trapeziumvormige schaal gezien de zijkanten. Bron: F. Zapata.

5.- Teken met het middelpunt op A een boog met straal d.

6.- Teken met het middelpunt op Q een boog met straal c die de boog die in de vorige stap is getekend, onderschept. Het afkappunt heet R.

7.- Segmenten BQ, QR en RA worden getekend met de liniaal.

8.- Vierhoek ABQR is een trapezium met schaalverdeling, aangezien APQR een parallellogram is, wat garandeert dat AB - QR.

Voorbeeld

De volgende lengtes zijn aangegeven in cm: 7, 3, 4 en 6.

a) Bepaal of het met hen mogelijk is om een ​​scalene trapezium te construeren die een cirkel kan omschrijven.

b) Vind de omtrek, het gebied, de lengte van de diagonalen en de hoogte van de trapezium, evenals de straal van de ingeschreven cirkel.

- Oplossing voor

Door de segmenten met lengte 7 en 3 als basis en die met lengte 4 en 6 als zijkanten te gebruiken, kan een trapeziumvormige schaal worden geconstrueerd met behulp van de procedure die in de vorige sectie is beschreven.

Het blijft om te controleren of het een ingeschreven omtrek heeft, maar onthoud de eigenschap (9):

We zien dat effectief:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Dan is aan de voorwaarde van bestaan ​​van ingeschreven omtrek voldaan.

- Oplossing b

Omtrek

De omtrek P wordt verkregen door de zijkanten toe te voegen. Omdat de bases samen 10 zijn en de laterale ook, is de omtrek:

P = 20 cm

Oppervlakte

Om het gebied te bepalen, dat alleen de zijkanten kent, wordt de relatie toegepast:

A = ∙ √

Waar s is de semiperimeter:

s = (een + b + c + d) / 2.

In ons geval is de semiperimeter s = 10 cm waard. Na het vervangen van de respectieve waarden:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Stoffelijk overschot:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Hoogte

De hoogte h is gerelateerd aan het gebied A door de volgende uitdrukking:

A = (a + c) ∙ h / 2, van waaruit de hoogte kan worden verkregen door te wissen:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Straal van de ingeschreven cirkel

De straal van de ingeschreven cirkel is gelijk aan de helft van de hoogte:

r = h / 2 = 1.984 cm

Diagonalen

Ten slotte vinden we de lengte van de diagonalen:

d ₁ = √

d ₂ = √

De waarden die we hebben correct vervangen:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Dat wil zeggen: d ₁ = 4,69 cm en d ₂ = 8,49 cm

Figuur 7. Scalene trapezium die voldoet aan de voorwaarde van bestaan ​​van een ingeschreven omtrek. Bron: F. Zapata.

Oefening opgelost

Bepaal de binnenhoeken van de trapezium met bases AB = a = 7, CD = c = 3 en laterale hoeken BC = b = 6, DA = d = 4.

Oplossing

De cosinusstelling kan worden toegepast om de hoeken te bepalen. De hoek ∠A = α wordt bijvoorbeeld bepaald uit de driehoek ABD met AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 en DA = d = 4.

De cosinusstelling toegepast op deze driehoek ziet er als volgt uit:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), dat wil zeggen:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Oplossend voor, wordt de cosinus van hoek α verkregen:

Cos (α) = -1/8

Dat wil zeggen, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

De andere hoeken worden op dezelfde manier verkregen, hun waarden zijn:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ en tenslotte δ = 82,82⁰.

Referenties

1. CEA (2003). Geometrie-elementen: met oefeningen en kompasgeometrie. Universiteit van Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Wiskunde 2. Grupo Redactie Patria.
3. Freed, K. (2007). Ontdek Polygonen. Benchmark Onderwijsbedrijf.
4. Hendrik, V. (2013). Gegeneraliseerde polygonen. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Wiskunde eerste semester Tacaná. IGER.
6. Jr. geometrie. (2014). Polygonen. Van Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren en Hornsby. (2006). Wiskunde: redeneren en toepassingen (tiende editie). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Wiskunde 5. Redactioneel Progreso.
9. Wikipedia. Trapeze. Hersteld van: es.wikipedia.com